Limites Y Continuidad

UNIVERSIDAD ADOLFO IBAÑES AREA DE MATEMATICAS EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS ALGEBRA SUPERIOR 2010 LÍMITE Y CONTINUIDAD 2
VIVIANA BARILE M

1 Use la definición de límite para demostrar que: a) b) lim ( 3 x + 5 ) = 11 x 2
lim 9 x  6  51 x5

2

 2 x  1 si x  2  Si F ( x )   , calcule lím F(x). x2 0 si x  2 

a) Dado  > 0, determine  > 0 de manera que F ( x )  3 <  cuando 0< x  2 < . b) Demuestre por definición que el límite obtenido por usted es correcto.

3 Determine los valores de K en R de modo que

x 2  3x  k 2 - 6 lim 3 x0 x2  x
4 Calcule los siguientes límites e indique los teoremas aplicados en cada caso:
a) lím b) lím
x3  8 x2  4
x 2

x  1

(

6 1- x
2



3 ) 1 x

c) lím (
x 1

1 2 ln( x 2  5 )  ) 2 3

(Respuesta:a) 0 b) 3/2 c) ½ Ln(6)+ 2/3)

5

Determine si existe lim f ( x) , donde: x1

1

2  x  3   f ( x)   2x  1  2x  3  x2  3 

x 1 x 1

.

Sol:  y vale  .
1 4

6 Calcule los siguientes límites:
a) lím

x3  8 2 x2 x 4

R:3

b) lím

x 1

(


2 3  ) 2 1- x 1  x3
3     1 x  2
3

R: -1/2

c) lím  

x 1  1  x

R:1/2

7 Calculelos siguientes límites:
1 x2 1 x2  2  x2
x 3 −a 3

1.

lím x 2

R : 2/3

2. limx→a x− a
(2x - 3) 20  (3x  2) 50 (2 x  1) 70

R: 6a2 a
50

3.

lím x 

3 R:  2

4.

lím x 

2x 3 - 3x  2 (3x  1) 3

R : 2 / 27

5.

2x 3 - 3x  2 lím 2 3 x   (3x  1) lím x 2x 3 - 3x  2 (3x  1) 2
x 2 −7x+12 x 2 −9

R:0

6.

R:

7.

limx→3

R:

1 62

8.

limx→3

3− 5+x 1− 5−x 1+x−1 1+x −1

R : -1/3

9.

limx→0 3

R: 3/2

10

limx→1 3

x− x x− x 3+0,5x
5

4

R : 15/8

11

limx→∞ 0,3x +1 +5 limx→∞
limx→a limx→2
x 9+x+1 2+1 x

R : 3/5

12

R: 5

13

x 2 − a+1 x+a x 3 −a 3 x 2 −x−2
20

R

a−1 3a 2

14

x 3 −12x+6 10

R:

3 10 2

15

limx→0 limx→0

1−cos ⁡ (x) x sen 7x +sen (5x)sen 3x +x tg x −sen (x) x3 cos ⁡ x 1−x π
π 2

R:0

16

R:3

17.

limx→0 limx→1

R:½

18.

R :π/2

19.

limx→1 1 − x tg limx→∞
4x 2 +5x+1 7x 3 +1

x 2

R :

2 π

20.

R:0

3

21.

limx→∞ limx→∞ limx→0 limx→∞

x+1 2x+1 x−1 x x+1

x2
R:0

22.

R : e−2

23.

1+5x 1/x 1+2x x 2 +5x+4 x 2 −3x+7 x

R: e3

24.

R : e8

25.

limx→∞
1 x

ln 1+6xln 1+3x
1+x 1−x

R:

ln ⁡ (6) ln ⁡ (3)

26.

limx→0 ln

R:1

27.

limx→e

ln x −1 x−e

R : e−1

4

10 Analice si los siguientes límites existen, dada la función:
 3x 2  2 x  2   x 1  5x f ( x )   2 x 3  3 x3 x  1   b) lim f ( x)
x  2

a)

x 3

lim f ( x)

c) lim f ( x)
x 3

x2 x 1  11.- Dada la función: f ( x ) = 5  x 2  x  4 .x  3 x4 
Grafique dicha función y verifique para ������ = 2 ������ ������������������������ ������ = 4 que:    12.f (a ) está definida existe lim f (x), calculando limites laterales x a f ( a ) = lim f (x) xa

Dada la función:  x2  9 x  3  f ( x)   x  3  6 x  3  Sol: Si es continua.

¿Es continua en x = -3?.

13.-

Determine el valor de  de modo que:
 x ln x  f (x)   x  1    x  0; x  1 x 1

la función sea continua en x = 1.

Sol:   1.

5

14 Dadas las funciones: f(x)=
 2  2x  8 x g(x)=  x4  4 

x

2

 2x  8 x4
 2  2x  8 x h (x) =  x  4  5  x4 x4

x4 x4

a) Analizar su discontinuidad en x = 4 b) Construya el gráfico para cada función c) indique el carácter de la discontinuidad en x = 4 15 Determinar losvalores de A y B (si existen) para que la función sea continua para todo R:

16.-

3 x 1  A( x  1)  x  1  B si  2 Ax  3 si 1  x  2 F(x) =  2  B( x  3x  10) si 2 x  x2  Determine los valores de a y b de modo que la función:

 2 sen x  f ( x)  a sen x  b   cos x

  x   2  x 2 2

2

 x 

sea continua en todos los reales.

Sol: a  1; b ...