LIMITES Y CONTINUIDAD

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MODULO PRECALCULO
QUINTA UNIDAD
Límites, Continuidad y Derivada.
“... y continuó Alicia:
contestó el Gato”.
Alicia en el País de las Maravillas de Lewis Carroll.

5.1 Sucesiones y Límites.
Objetivos.
1. Comprender los conceptos de sucesión de números y su límite.
2. Calcular el límite de una sucesión convergente.
3. Construir sucesiones convergentes.Introducción.
Iniciamos el estudio de conocimientos de matemática creados a mediados del siglo
XVII. Ese gran salto que dieron Newton y Leibnitz al descubrir el “cálculo” se basó en
todos los saberes matemáticos desde la antigüedad hasta ese momento, tal como lo
expresó Newton al decir: “si vi más allá, fue porque me paré sobre los hombros de
gigantes”.
El concepto de “límite” es indispensable paraingresar en este nuevo mundo. De los
griegos nos viene la conocida paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga. Según esta
paradoja si en una carrera, Aquiles le da ventaja a la tortuga, cuando Aquiles llegue al
punto que ha abandonado la tortuga, ésta habrá avanzado un poco más, y así
sucesivamente hasta el infinito, de modo que la tortuga siempre estará adelante de
Aquiles, quien no alcanzaránunca a la tortuga. La falsa paradoja trata de negar el
movimiento y el concepto de unidad (enteros) de los pitagóricos.
Si Usted está frente a un espejo y toma otro espejo para mirar su figura del primer espejo
en el segundo espejo, tendrá toda una sucesión interminable de su imagen.
El dibujo de polígonos de 3, 4, 5,..., n,... lados, le dará un polígono que tiende a la
circunferencia comolímite cuando n sea un número bastante grande.
De igual manera podrá tener una sucesión de números como 1, 1 , 1 , 1 ,..., 1 ,... donde
2 3 4
n
cada vez el cociente es más pequeño, y cuando n es suficientemente grande, será casi
cero, sin llegar nunca a ser cero.
Ilustramos de esta manera el concepto de sucesión, como un conjunto de elementos que
se suceden unos a los otros, con ciertoorden y que se aproximan o no a otro elemento.

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Sucesión:
Ejemplos de sucesiones son:
1
1. s 1 = { 1, 1 , 1 , 16 ,..., n12 ,... } = { n12 } → 0
4 9
Es una sucesión convergente, que cuando
n ↑ crece o tiende a ∞ , la sucesión tiende a 0.
O sea que, cuando n → ∞ entonces n12 → 0,
Donde 0 es el límite, pero 0 ∉ s 1 .
2. s 2 = {0, 1, 4, 9, 16,..., n 2 ,...} = {n 2}
Es una sucesión divergente, que cuando n ↑
crece o tiende a ∞ , la sucesión tiende a ∞ .

Una sucesión es un conjunto de infinitos términos
o números que se siguen o suceden uno al otro
cumpliendo una regla o fórmula, generadora de
todos los términos y conocida como el término
general o enésimo (n-simo) de la sucesión.
Conviene que cuando n ↑ crezca la sucesión
tienda o se acerque a unnúmero considerado su
límite. En este caso, se dice que la sucesión es
convergente. En otro caso, si la sucesión no tiene
límite se dice divergente.

Formalmente, una sucesión s es una función definida sobre los números naturales N y
valorada en los reales. O sea que la función s aplica N en ℜ , s: N → ℜ . Así,
s = {x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ,...}, tal que s (1) = x 1 , s (2) = x 2 ,..., s(n) = x n ,..., donde los valores
de n son números naturales, los x i son números reales y x n es el término general.

Límite de una sucesión.
Ejemplos. Son sucesiones las siguientes:
1
1
a) {0.9, 0.99, 0.999,... 1 − 10n ,...} = { 1 − 10n }
1
Esta sucesión converge a 1. 1 − 10n → 1 .
n
n
b) { 3 ,2, 9 , 12 ,..., n3+1 ,... } = { n3+1 } → 3 .
2
4 5

c) {- 1, 1, - 1, 1, - 1,..., (-1)n ,...} = {(-1) n }.
Esta es una sucesión divergente.

 n1 1 , si.n.es.impar
d) { ,1, ,2, ,3,... } =  n +
 2 , si.n.es. par......
1
2

1
4

1
6

Es una sucesión divergente. Los términos de los
lugares impares tienden a cero, y los de los lugares
pares tienden a infinito.

Si n crece bastante n ↑ , los valores de la sucesión
tienden, se aproximan o acercan a un número...