Limites Y Continuidad

CALCULO I
CONTINUIDAD DE FUNCIONES

OBJETIVO DE LA CLASE

ANALIZAR LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
MEDIANTE LÍMITES, PROPIEDADES Y LA
GRÁFICA.

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO X0
Seaf(x) una función definida en una intervalo que contenga el punto x0 .
Diremos que la función f(x) es CONTINUA el punto x0 si se cumple :
1) f(x) está definida en x0

2)
3)

lim f ( x) existex   x0

lim f ( x)  f ( x0 )

x   x0

Si f(x) no es continua en el punto x0 se dice que f(x) es
DISCONTINUA EN x0 , o que tiene un punto de discontinuidad en
x= x0

Analicemos lasiguiente función

a) ¿Es la función continua en x=0?
1) f(0)= 02 – 5 = -5 . Está definida en x=0
2)
El límite existe
3)
Por lo tanto la función es continua en el punto x=0
DETERMINA:
b) ¿Es lafunción continua en x=1?
c)¿Es continua la función en x=-2?

Analicemos la siguiente función

¿Es la función continua en x=0?
1)
2)

Está definida en x=0
El límite existe

3)

Por lotanto la función es continua en el punto x=0

PERO ¿Es continua en x=2?
1)
2)

 La función no está definida en x=2
 El límite no existe
Por lo tanto la función es discontinua en x=2

ESTETIPO DE DISCONTINUIDAD SE LLAMA INFINITA

Analicemos la función por partes

¿ES CONTINUA EN x=0?
1) f(0) = 0  Está definida en x=0
2)
 Como los límites laterales son distintos el límite
noexiste
Por lo tanto, esta función tiene una discontinuidad
en x=0 y se llama de discontinuidad de salto
infinito.

Analicemos la función

¿ES CONTINUA EN x=1?
1) f(1) = 2 . Por lo tanto estádefinida en x=1
2)

3)

Por lo tanto la función no es continua en x=1

TIPOS DE DISCONTINUIDADES
1) ESENCIALES
Son aquellas en que el límite de la función en el punto no existe

InfinitaSalto infinito

Salto finito

2) REMOVIBLES
Son aquellas en que el límite de la función en el punto existe, y es posible remover la
discontinuidad redefiniendo la función y dejándola...