Limites y continuidad

LIMITES Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES
9.1. Introduccion
El concepto de limite en Matematicas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funcion en un determinado punto o en el infinito.
Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´on dada por la gr´afica de la figura y fij´emonos en el punto x = 2 situado en el eje de abscisas:

¿Qu´e ocurre cuando nos acercamos al punto 2movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2’1, 2’01, 2’001.
Vemos en la figura que en este caso las im´agenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01), f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y = 3.
Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las im´agenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambi´enal mismo valor, y = 3.
Concluimos que el l´ımite de la funci´on f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´al expresamos como:
l´ım f(x) = 3 x→2
Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funci´on en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la funci´on, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.
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Sin embargo la expresi´on matem´atica rigurosade l´ımite es algo m´as compleja:
Definici´on: Dada una funci´on f(x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f(x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como:
l´ım f(x) = L x→a
cuando:
Dado , existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces
Lo que viene a expresar esta formulaci´on matem´atica es que si x est´a “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´amuy pr´oxima a L.

En la pr´actica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´ımites laterales, que como recordaremos se definen de la siguiente forma:
Definici´on:
Se define el l´ımite lateral por la derecha de a de la funci´on f(x), y se expresa como:
lim f(x) x→a+
al l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.
De igual modo, ell´ımite lateral por la izquierda de a de la funci´on f(x) se expresa como:
lim f(x)
x→a−
y se define como el l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.
Propiedad: Para que una funci´on f(x) tenga l´ımite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos l´ımites laterales y coincidan, es decir:

9.2. Tipos de limites
Recordaremos algunos tipos de l´ımitesque son conocidos:
1. L´ımites infinitos en un punto finito: En la situaci´on del dibujo, se dice que el l´ımite cuando x se acerca por la derecha de a es +∞, pu´es a medida que la x se acerca a a, la funci´on se hace cada vez mayor:


(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo).
De igual modo se define el l´ımite −∞ cuando nos acercamos aa (por la derecha o por la izquierda).(Dibuja el que falta)

Puede ocurrir que uno de los l´ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinaci´on entre ellos, por ejemplo:

En la figura anterior se cumple que:
l´ım+ f(x) = +∞ x→2
y
l´ım f(x) = 2
x→2−
2. L´ımites finitos en el infinito: Se dice que una funci´on tiene l´ımite b cuando x tiende a +∞ cuando la funci´on seacerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:
l´ım f(x) = b
x→∞
Gr´aficamente:

En este caso el l´ımite es 2 cuando x tiende a +∞.
De igual modo se define el l´ımite finito cuando x tiende a −∞.
3. L´ımites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la funci´on se hace cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).
Un ejemplo gr´afico de este tipo del´ımites ser´ıa:

En este caso: xl´→∞ ım f(x) = − ∞
(Intenta dibujar otros casos diferentes).
9.3. C´alculo de l´ımites
Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el c´alculo de l´ımites cuando se presentan diferentes indeterminaciones:
9.3.1. L´ımites en el infinito
1. L´ımites de polinomios: El l´ımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞,...