limites y continuidad

CÁLCULO I
2014-01
GUÍA Nº1: Límites y continuidad.
Compruebe los siguientes resultados sobre límites (Ejercicios 1 a 60):

25 x  x3
25
1. lim

x  5 4 x  20
2
2
x  4x  3
4. lim
0
x  1
1  x2
10  3x  x 2
7
7. lim 2

3
4
x  2 4 x  2 x  2 x
24

x2  4
4
2. lim 2

x 2 2 x  5x  2
3
2
3x  x  10 11
5. lim

x  2
4 x  x3
8
2
3x  5 x  21
8. lim

2
2
7
x 6x  x  2
3

x  18 x  81
 36
x 3
( x  3) 2
4

x2  x  2
3
3. lim

2
x 2 4 x  2 x
4
3
2
x  x  12 x 7
6. lim

x  3
x3  27
9
2  1
 1
9. lim
 2

x 1 x  1
x 1 2


( x  1) 2
1

2
3
x 1 ( x  1)( x  1)
6

2

10. lim

11. lim

x x6
5

2
2 x  4 x  6 48
( x 2  1)  x 2  1 1
16. lim

x 0x2
2

4  3x  1
3

2
x  5x
40
2  3x  1
3 2
17. lim

2
x 1 2 x  x  3
20

( x  a) 2
1

2
2
3
3
x  a ( x  a )( x  a )
6a

12. lim

2x  x  5
9

2
3x  4 x  1
8
1 1
1

18. lim  
 h 1  h  1    2

h 0

 

13. lim

14. lim

15. lim

3 x 4 1

19. lim 
x  64
x 8 3


tan x  sin x 1
22. lim

x0
x3
2

20. lim ( x  x 2  2 x  5 )  1

21. lim

x 3

x 5

x 

x  1

x

1  cos(3x) 9
23. lim

x 0
5x2
10

(4 x  3) 2 (2 x 2  3)3 1

x 
(2 x  1)8
2
tan( x  2)
8
28. lim x

x 2 4  5x  6
5
25. lim

3 5 x
1

x 4 1  5  x
3

26. lim

5 x 3

1

 2x  3 
30. lim 
 e15 / 2

x  
 2x 
 2x  1
x2  5


33. lim 
x 
2
x  2 2



29. lim (1  3x) 2 x  e3 / 2
x 0

32. lim

(1  x)5  (1  5 x)
 10
x 0
x 2  x5
xm  1 m
37. lim n

x 1 x  1
n

4

cos x  sin x
2

cos(2 x)
2

1
1

1
24. lim sin x tan x 
x 0
sin x
2
x 1
1 e
1
27. lim 2

x 1 x  1
2

3x  3 x
 ln 3
x 0
2x

( 2  h) 3  8
 12
h 0
h

31. lim



x 3 3x  2 1

x 1 x 4  4 x  3
2
5
x  5x  4
 10
38. lim
x 1
( x  1) 2

x100  2 x  1 49

x 1 x 50  2 x  1
24
x  13  2 x  1 

39. lim
x 3
x2  9
1

34. lim

35. lim

36. lim

23 x6
1

3
x  2
x 8
144
3
tan x  3 tan x
43. lim
x  / 3 cos( x   / 6)

3
41. lim x  2  x  20   112
4

42. lim (3 x3  3x 2  x 2  2 x

1 x  1 x44. lim 3
x 0 1  x  3 1  x
47. lim x 1  2 x

( x 2  x  2) 20
45. lim 3
x  2 ( x  12 x  16)10

40. lim

x 1

 x 2  1  x 1

46. lim  2
x   x  1 



x 7

2 x9

27

x 0

Gentileza del Profesor Carlos Figueroa M.
1

x  

3x  9
48. lim
x 2 x  2

CÁLCULO I
2014-01
cos(7 x)  cos(3x)
49. lim
x 0
8x2

x3  2 x 2  4 x  8
50.lim
x 2
x 4  8 x 2  16
sin( x   / 3)
53. lim
x  / 3 1  2 cos x

52. lim ( 1  x  x 2  1  x  x 2 )
x  

2 
 3
56. lim 


x 1 1 
x 1 3 x 

 x 
59. lim (1  x) tan 
x 1
 2

2  3 8  3x  x 2
x 0
x  x2
x2
58. lim
x2 x  2
55. lim

1  2 x  x 2  (1  x)
x 0
x
n
1 1 x
54. lim
x 0
x
x2
57. lim
x2 x  2
sec x  sec a60. lim
x a
xa
51. lim

61. Si lim f ( x)  2 y lim g ( x)  3 , calcule los siguientes límites, si existen:
x a

x a

a. lim (3 f ( x)  5g ( x))
x a

b. lim (8 f ( x)  ( g ( x))2 )
x a

c. lim

x a

5 g ( x)  f ( x)
3 g ( x)  2 f ( x)

d. lim (3  f ( x))2
x a

e. lim (2  3g ( x))1 f ( x )
x a

f.

lim (ln(2  f ( x))  3( f ( x))2
x a

f ( x) f (6)
, si f ( x)  x  3 .
x6
1
63. Considere la función f ( x)  2
. Determine el menor valor del número real positivo N , para el
x 1
cual x  N implique que f ( x)  0,01. Respuesta: 99 .

62. Calcule lim

x 6

1
. Determine el mayor valor del número real positivo  , para el
x 1
1
cual x   implique que f ( x)  1  0,01 . Respuesta:
.
99
f (3  h)  f (3  h)...