Limites y continuidad

LIMITES Y CONTINUIDAD

1. LIMITE DE FUNCIONES. Límite Laterales

Existe una definición formal para el Límite de una función que no abordaremos en este curso. Nos conformaremos con la definición intuitiva.

2.1.1 Definición intuitiva de límite de una función

Consideremos las funciones siguientes:
[pic]

Ahora veremos, en ambas funciones, a qué valor tiende cada una deellas ( a que valor de Y) cuando la variable [pic] se aproxima a 2 por la izquierda de 2 , es decir, para valores menores que 2.

Para ello elaboraremos una tabla de valores para cada caso:
| |[pic] |[pic] |
|[pic] | ||
|1.9 |13.9 |3.9 |
|1.99 |103.99 |3.99 |
|1.999 |10003.999 |3.999 |
|1.9999 |10,003.9999|3.9999 |
|1.99999 |100,003.99999 |3.99999 |
|1.999999 | |3.999999 |

Observemos que mientras los valores de [pic] se van aproximando cada vez mas a 2 por la izquierda, denotado por[pic], los valores de la función g se aproximan cada vez más a 4. En vista de ello, decimos que el límite cuando [pic] tiende a 2 por la izquierda es 4, expresado en símbolos como

[pic]
Por otra parte, de la tabla podemos observar también que cuando [pic] tiende a 2 para valores menores que 2, [pic] crece sin tope. Puesto que no existe un número al que[pic] se acerque más y más. En este caso, decimos que el límite de [pic] cuando [pic] tiende a 2 por la izquierda de [pic] no existe, lo que expresamos

[pic]
De igual manera, veamos lo que sucede con los valores de las funciones cuando [pic] se aproxima a 2 por valores mayores que 2. Usaremos la notación [pic]para expresar que [pic] tiende a 2 por la derecha. La siguiente tabla muestra algunosde esos valores:

| |[pic] |[pic] |
|[pic] | | |
|2.1 |-5.9 |4.1 |
|2.01 |-95.99|4.01 |
|2.001 |-995.999 |4.001 |
|2.0001 |-9,995.9999 |4.0001 |
|2.00001 |-100,003.99999 |4.00001 |

De nuevo, la tabla sugiereque [pic] se acerca más y más a 4, por lo que diremos que el límite de [pic] cuando [pic] tiende a 2 por la derecha es 4; en símbolos,
[pic]
Además, la tabla también sugiere que [pic] decrece sin límite cuando [pic] tiende a 2 por la derecha (por valores mayores que 2). Como no hay ningún número al que tienda[pic], decimos que
[pic]
Se llaman límites laterales a

[pic]
El hecho de que losdos límites laterales son iguales, se resume diciendo que el límite de [pic] cuando [pic] tiende a 2 es 4; en símbolos

[pic]
Por otra parte, como no hay valor común para los límites laterales de [pic] (de hecho, no existen), se dice que el límite cuando [pic] tiende a 2 no existe; en símbolos

[pic]
Observaciones:
1) Notemos que un límite existe si, y sólo si, los dos límites laterales...