limites y continuidad


Unida 2: Límites y continuidad
2.1 Definición de límite
Idea de límite.- sea el cuadrado ABCD, de 4cm de lado. Constrúyase una serie de cuadrados de manera que los puntos medios de los lados delprimero sean los vértices del segundo, los puntos medios de los lados de éste sean los vértices del tercero, y así sucesivamente.

Definición.- se dice que una variable v tiene por limite una cantidadfinita L cuando la diferencia puede llegar a hacerse y conservarse menor que cualquier numero positivo, dado de antemano, por pequeño que se le suponga, ósea, si < E.
Se dice que el límite de unafunción f(x), cuando x tiende al valor a, es una constante 1, si el valor absoluto de la diferencia entre la función y el limite llega a hacer tan pequeña como se quiera para todo valor de xsuficiente próximo al valor a con exclusión del valor a.




2.2 Teorema de límites
En el cálculo del límite de una función tiene aplicación los teoremas siguientes.
Supongamos que u, v, y w sean funciones deuna variable x y que:
,
Entonces son ciertas las siguientes relaciones.
(1) .
(2) .
(3) =
En breves palabras: el límite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es igual,respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente de los límites respectivos, con tal de que, en el titulo caso, el límite caso, el límite del divisor no sea cero.
Si c es una constante(independiente de x) y B no es cero, de lo anterior de deduce:
(4) , , .
Teoremas relativos a infinitésimos y limites: en las siguientes consideraciones todas las variables se suponen funciones de la mismavariable independiente, y, además, que tienen a sus límites respectivos cuando esta variable tiende a un valor fijo a. la constante E es un numero positivo asignando de antemano, tan pequeño como sequiera, pero no cero.
En primer lugar demostraremos cuatro teoremas sobre infinitésimos.
1.- La suma algebraica de n infinitésimos, siendo n un número finito, es otro infinitésimo.
En efecto,...