Limites y continuidad

Limites

Idea intuitiva de límite
En este capítulo vamos a presentar la idea formal de límite como una operación aplicada a una función en un punto.
Se establecerán también algunos teoremas sobre límites de sumas, productos y cocientes de funciones.
Iniciaremos nuestro estudio con la idea intuitiva de límite.
La presentación de los ejemplos siguientes pretenden dar una idea delsignificado del límite de una función en un punto.
Ejemplo 1:
Consideramos la función definida por con dominio en .
La representación gráfica es la siguiente:

Nos interesa observar el comportamiento de la función para valores de cercanos a 2 pero no iguales a 2.
Veamos las tablas siguientes:
Tabla a.
|
Tabla b.
|
 
Puede observarse de ambas tablas que conforme se aproxima más a2, toma, cada vez, valores más próximos a 3.
En otras palabras, al restringir el dominio de la función a valores cada vez "más cercanos a 2", el conjunto de imágenes o sea, los valores que toma la función, se "acercan cada vez más a tres".
En este caso se dice que cuando tiende a 2, que se simboliza , entonces , o sea tiende a 3. Esto puede escribirse como y utilizando la notación de límitesescribimos
que se lee: el límite de cuando tiende a 2, es igual a 3.
Ejemplo 2:
Nos interesa calcular el área de región limitada por la parábola con ecuación , el eje y la recta de ecuación .
La representación gráfica de esta región es la siguiente:

Dividimos el intervalo en partes iguales señaladas por los valores:

formando sobre cada una de las partes, un rectángulo cuyo ladovertical izquierdo toca a la parábola en un punto, y cuya base mide en cada caso. Luego, el área de cada uno de estos rectángulos podemos expresarlas como sigue:

Así, la suma de todas la áreas de los rectángulos está dada por la siguiente igualdad:

de donde
Como , cuya prueba está al final del capítulo, entonces:

de donde
Tomando entonces
Observemos que si a "n" se le asignan valorespositivos cada vez más grandes, entonces se aproxima a cero.
Si en la figura 1 se aumenta el número n de divisiones del intervalo, entonces crece el número de rectángulos y la suma de las áreas de ellos se aproxima al área de la figura curvilínea.
Como se aproxima a cero cuando crece indefinidamente, puede decirse que se aproxima al número , y así el área de la región tiende a .
La expresión"n" toma valores positivos cada vez mayores  puede sustituirse por ,(n tiende a más infinito) y como , ( tiende a cuando ) , entonces, volviendo a utilizar la notación de límites escribimos:

que se lee: el límite de , cuando tiende a más infinito es .
Es importante señalar que al estudiar el límite de una función, no se menciona el valor que toma la función exactamente en el punto. Así, enel ejemplo 1, no importa cuál es el valor de , sino el valor de cuando tiende a 2. Esto se debe a que el concepto de límite de una función en un punto es independiente del valor que toma la función en este.
Puede suceder que en dicho punto la función no esté definida y aún así exista el límite. El siguiente ejemplo presenta esta situación.
Ejemplo 3:
Sea la función definida por la ecuaciónpara toda .
La representación gráfica de es:

De la gráfica puede observarse que aunque la función no está definida para , cuando toma valores muy cercanos a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos como:

Generalización del concepto de límite
Sea una función definida para valores reales en los alrededores de un número b, aunque no necesariamente en b mismo, como se representagráficamente a continuación:

Se observa que cuando entonces lo que se escribe como:

Recordemos que al calcular no importa que la función , esté o no definida en ; lo que interesa es que f esté definida en las proximidades de b.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función cualquiera para la que :

 
Observe que aunque , para valores de próximos a se tiene que , por...