Limites Y Derivadas

STEWART
Capitulo 2: limites y derivadas

Problema de la tangente
La palabra tangente proviene de la palabra proviene de la palabra latina tangens, la cual significa “tocar” . Desde este modo, una tangente una curva es una recta que tocara esta última. ¿Como se puede precisar esta idea?. Para un círculo, podríamos seguir la idea de Euclides y decir que una tangente es una recta que interceptaese círculo una vez y sólo una. Para urbanas complicadas, esta definición es inadecuada.

Para ser específicos, veamos el problema de intentar hallar una recta tangente t a la parábola y=x2 en el ejemplo siguiente.
Ejemplo un. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y=x², en el punto P(1,1).
solución. Podremos hallar la ecuación de la recta tangente que tan prontoconozcamos su pendiente en mí. La dificultad es que no conocemos sólo un punto, te, de que, en tanto que necesitemos: para calcular la pendiente. Pero podemos calcular una aproximación para M. si elegimos un punto cercano q(x,x²) de la parábola (fig2) y calculamos la pendiente mpq de la recta secantePQ.
Elegimos x= 1, de modo que Q=p, entonces
mPQ=x2-1x-1
Por ejemplo, para el punto Q(1.5, 2.25)tenemos
mPQ=2.25-11.5-1=1.25.5=2.5


X | mPQ |
2 1.5 1.1 1.01 1.001 | 3 2.5 2.1 2.01 2.001 |
Y=X²
Y=X²
P(1,1)
P(1,1)
Q(x,x2)
Q(x,x2)

Las tablas en el margen muestran los valores de mPQ Para varios valores de x cercanos a 1. Entre más cerca estáQ de P, más lo esta x de 1 y, por lo que se ve en las tablas mPQ Está más próxima a 2. Esto sugiere que la pendiente de la rectatangente t debe ser m=2. Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendiente de la recta se cantes y, simbólicamente, expresamos esto al escribir
limQ PmPQ=m
limx-1x²-1x-1=2
Pone que, en efecto, la teniente de la recta tangente es dos, buscamos la forma.-Pendiente de la ecuación de una recta (A P. V.) para escribir la ecuación de la recta tangente que pasa por (1.1) comoy-1=2x-1 o y=2x-1




2.2 limites de una función.
Luego de ver en la sección anterior como surgen los límites cuando deseamos hallar una tangente a una curva o la velocidad de un objeto, volvamos nuestra atención hacia los límites en general y los métodos para calcularlos.
Investiguemos el comportamiento de la función F. definida por fx=x²-x+2para valores cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de f(x) para valores de x cercanos a dos, pero no iguales a dos.
x | f(x) | x | f(x) |
1.0 1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999 | 2.000000 2.750000 3.440000 3.710000 3.852500 3.970100 3.985025 3.997001 | 3.0 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001 | 8.000000 5.750000 4.650000 4.310000 4.152500 4.030100 4.015025 4.003001 |

Apartir de la tabla y de la gráfica de f vemos que cuando X. está cercano a dos( por cualquiera de los dos lados de dos), f(x) no está a 4. De hecho, parece que podemos acercar los valores de f(x) a 4 tanto como deseemos si tomamos una x suficiente acerca de 2. Expresamos este hecho al decir: “ el límite de la función fxx2-x+2, cuando X. tiende a dos, es igual a 4”.
La notación para estaexpresión es
limx-2(x²-x+2)=4
en general, usamos las incrementación:
Definición escribimos
limx-af(x)=L
Y decimos “ el límite de f(x) , cuando X. tiende a, es igual a L” si podemos acercar arbitrariamente él los valores de fx A L TANTO como deseemos tomando X. lo bastante cerca de la, pero no igual a a .
Definición escribimos
limx-af(x)=L
Y decimos “ el límite de f(x) , cuando X. tiende a, esigual a L” si podemos acercar arbitrariamente él los valores de fx A L TANTO como deseemos tomando X. lo bastante cerca de la, pero no igual a a .




En términos generales, esta firma que los valores de fx Se aproximan cada vez más al númeroL cuando X SE acerca a a pero x≠a

Límites laterales
Definición escribimos
limx-a+fx=L
Decimos que el límite izquierdo de f(x) cuando X. tiende...