Limites y derivado

LIMITE DE FUNCION:
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa queel valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, pero distintos de c.
Funciones en espacios métricos

Visualización de los parámetros utilizados enla definición de límite.
Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca comoqueramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definiciónformal de límite que precisa estos conceptos:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite.Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces laelección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.
Existe otra manera de escribir esto mismo que tiene que ver con el concepto de bolas:Supóngase f : (M, dM) -> (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en c es L" y escribimos

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ >0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.
En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0 existe unδ(ε) > 0 tal que, para todo x:
si , entonces
De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:
1. x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ).
2. x no es igual a c,...