Limites y funciones

funcionesCálculo Diferencia e Integral
CAPITULO I FUNCIONES 1.- Definición de Función. Una función es un conjunto de parejas ordenadas de números en el cual dos parejas ordenadas distintas no tienen el mismo primer número. El conjunto de todos los valores posibles de x se llama el dominio de la función y el conjunto de todos los valores posibles de y se llama el rango (imagen) de la función.Ejemplos: 1.1. - Determine si las siguientes expresiones representan una función; si es función dar su dominio, rango y graficar: 1. – 2. – 3. – 4. – 5. 6. – 7. – 8. – Dadas las siguientes funciones paramétricas, determine la ecuación cartesiana e indique sí dicha ecuación cartesiana representa una función o no. 9. - D = { (x, y) | x = 3t +2 ; y = 4t -2 }. 10. – E = { (x, y) | x = 3t2 + t ; y = 4t -2 }.

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2.- Funciones Especiales 2.1 .- Función polinomial Función es aquella función que tiene la forma:

f ( x ) = a n x n + a n−1 x n −1 + L + a1 x + a 0
donde n es número entero no negativo y es llamado grado de la función polinomial. El coeficiente ai , i=0, 1,2, ... n son números reales. El dominioes el conjunto de todos los números reales. La función polinomial de grado 0, 1, 2 y 3 son, respectivamente: 2.1.1 Función constante

f ( x) = a 0 ; Dominio = ℜ ; Imagen = { a 0 } y es llamado función constante La notación más común es: f ( x ) = c ; donde c es una constante y pertenece a los reales
Dominio =

ℜ ; Imagen = { c }

Es decir es aquella función que para todo valor de x en losreales el valor de y es la constante c. Ejemplos: Determinar el dominio, imagen y gráfica de las siguientes funciones: a) f ( x ) = 2 b) f ( x ) = −3

D = ℜ ; I = {2}
2.1.2 Función Lineal

D = ℜ ; I = {−3}

f ( x) = a1 x + a 0 ; Dominio = ℜ ; Imagen = ℜ y es llamado función lineal. La notación más común es: f ( x ) = mx + b donde m y b pertenece a los números reales; m es la
pendiente dela recta y b es la ordenada al origen Dominio =

ℜ ; Imagen = ℜ

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Ejemplos: Determinar el dominio, imagen y gráfica de las siguientes funciones: a) f ( x ) = x Esta función lineal es llamada función identidad Dominio =

ℜ ; Imagen = ℜ ; cuya gráfica es:

Es decir, para todo valor de x, y toma el mismovalor de x

b) f ( x ) = 2 x + 3 ;

D = ℜ; I = ℜ

c) f ( x) = −3 x + 2 ;

D = ℜ; I = ℜ

2.1.3

Función Cuadrática

f ( x ) = a 2 x 2 + a1 x + a 0 ; Dominio = ℜ y es llamado función cuadrática.
La notación más común es:

f ( x ) = ax 2 + bx + c

La gráfica de esta función es una parábola vertical, cuyo vértice esta dado por V(h,k) y se puede determinar por medio de:

b h=− 2ay

4ac − b 2 k = f (h) ó k = 4a

Dependiendo del valor del coeficiente de x2 (a), la gráfica puede ser: Si a>0 Si a5

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4.- Función Inversa. 4.1.- Función biunívoca. Una función f(x) se denomina biunívoca o uno a uno si a cada elemento de la imagen, le corresponde uno y solo un elemento del dominio;es decir:

∀x1 ; x2 ∈ D f se cumple que: si x1 ≠ x2 entonces f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) f ( x) = 5 x − 1

f ( x) = x − 1

Es función biunívoca

No es función biunívoca

4.2.- Función Inversa. Si f(x) es una función biunívoca, entonces, existe una función f –1, llamada inversa de f, que satisface que: x=f –1(y) si y solo si y=f(x) El dominio de f –1 es la Imagen de f y la imagen de f –1 es eldominio de f Ejemplos: Determine la función inversa de las siguientes funciones: a) f ( x ) = 5 x − 3 solución: i) D f = ℜ ;

(D

f

−1

= I f ; I f −1 = D f .

)

If =ℜ

Es una función biunívoca

ii) y = 5 x − 3

⇒ x=

y +3 5

∴ f − ( y) =
1

y+3 5

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iii)

x=

y +3 x+3 ⇒ y=...