Limites

Límite matemático
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
Enmatemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros
El límite de una sucesión
Es elnúmero al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

a1= 1
a2= 0.5
a1000= 0.001
a1000 000 = 0.000001
El límite es 0.

a1= 0.5
a2= 0.6666....
a1000= 0.999000999001
a1000 000 = 0.999999000001
El límite es 1.

a1= 5
a2= 7
a1000= 2 003
a1000 000 = 2 000 003
Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.
Discontinuidad (Tipos)
*Discontinuidad evitable : Si f(x) no está definida en el punto (x=a) o el limite de la función cuando tiende a (a) no es igual a la función en dicho punto.
* Discontinuidad de 1ª especie : Si en el punto existen los límites laterales pero no coinciden.
* Discontinuidad de 2ª especie : Cuando alguno de los límites laterales o no existen o son infinitos.
Límites de funciones
En el caso de unafunción y=f(x), la variable independiente es un número que pertenece a los números reales. Por tanto, las posibilidades de movimiento a lo largo del eje de abscisas son tres:
1.- Nos podemos dirigir hacia un punto concreto del eje de abscisas ( x0) viendo el comportamiento de la función cuando nos acercamos a ese punto
Por ejemplo nos podemos plantear cual es el comportamiento de la funcióny=x2 en el caso de que la variable independiente x se acerque a 2

Observa que en este caso la función se acerca a 4. En este caso diremos que .
Además podemos comprobar este hecho construyendo una tabla de valores que se aproxime a 2.
x | 1 | 3 | 1.5 | 2.5 | 1.8 | 2.2 | 1.9 | 2.1 | 1.99 | 2.01 |
f(x) | 1.00 | 9.00 | 2.25 | 6.25 | 3.24 | 4.84 | 3.61 | 4.41 | 3.96 | 4.04 |
EjerciciosCalcula por este procedimiento: .
Realiza una interpretación geométrica.
2.- Se puede estudiar el comportamiento de la función cuando la variable x tiende hacia +inf.
Ejercicio
Utilizando una tabla de valores, estudia el comportamiento de la función f(x)=x2 cuando la x tiende hacia +inf, es decir, estudia .
Realiza una interpretación geométrica.
3.- De la misma forma cuando la x tiende hacia-inf.
Ejercicio
Utilizando una tabla de valores, estudia el comportamiento de la función cuando la x tiende hacia -inf, es decir, estudia .
Realiza una interpretación geométrica.
Observa que estudiar el límite de una función en cualquiera de los casos anteriores por el procedimiento utilizado, además de ser un trabajo pesado, no tiene mucha fiabilidad. Solo te puede servir para intuir cualserá el límite. Es por esto, por lo que a partir de ahora veremos procedimientos para calcular límite de funciones de una manera mucho más rápida y precisa. Distingamos varios casos:
CASO 1
Supongamos que tenemos que calcular el límite de una función en un punto y que además se verifica:
1.- La función f no está definida a trozos.
2.- El punto x0 está en el dominio de la función.
En estecaso se tiene que .
Ejemplos
1.- Calcula . En este caso Dom(f)=R. Luego como el punto 8 está en el dominio de la función f y además f no está definida a trozos, se tiene que .
2.- puesto que f no es función definida a trozos y Dom(f)=R\{-4} por lo que -2 sí está en el dominio de la función.
CASO 2
Supongamos ahora que f se trata de una función definida a trozos. Antes de comenzar a...