Limites

DESARROLO

Deinicion de límites:
Sea f una función definida en cada numero de algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el numero a mismo. El limite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como
Lim x → a f(x) = L
Si la siguiente posicion es verdadera:
Dada cualquier ϵ ˃ 0, no importa cuan pequeña sea existe una δ > 0 tal que
si 0<‌x – a < δ entonces f(x) - L < ϵ

Para una función matemática y = f(x), en un punto x = a, la expresión “límite de f(x) cuando x es tan próximo a a como queramos” (x → a), es el valor al que se aproxima la función cuando el valor de x se acerca a a tanto como se quiera, simbólicamente lo escribimos de la forma
Lím x→a f(x) = L
* Así decimos que límx→1 = 1 pues cuando x →1, x2→ 1,
* o tambín decimos que límx→2 x2 = 4 pues cuando x → 2, x2 → 4,
* o bien decimos que lím x→5 x3 = 125 pues cuando x → 5, x3 → 125.
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Sea f: R → R; el numero L se llama el limite de la funcion f en el punto x0; si para todo numero real ε ˃ 0, existe un número real, δ > 0 (que usualmente depende de ε y de xo), tal que: siempre que0< x – x0 < δ, entonces f(x) - L
La notacion lím x→x0 f(x) = L, en el punto x0
Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a. En términos matemáticos, se expresa como:

http://www.hiru.com/matematicas/limite-de-una-funcion
Propiedades delos límites
Dadas dos funciones f(x) y g(x) que tienen límite en un punto a, se cumplen las siguientes propiedades:
* El límite de la suma de ambas funciones es igual a la suma de los límites.
* El límite de la diferencia se calcula como la diferencia de los límites.
* El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites.
* El límite del cociente entre ambasfunciones es igual al cociente entre los límites, siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.
* El límite del producto de una constante por una función viene determinado por la multiplicación de la constante por el límite de la función.

Estas propiedades se expresan matemáticamente como sigue:

http://www.hiru.com/matematicas/limite-de-una-funcionEjemplo

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Límites indeterminados

Las formas indeterminadasd mas conocidas cuando se trabaja con numeros reales son las siguientes:
00 ; ∞∞ ; o . ∞; ∞-∞; ∞0 ; 00; 10
Todas estas formas indeterminadas, pueden reducirse a la forma 0/0, usando procedimientos algebraicos y a veces tomando logaritmos. Por ejemplo, si límx→x0 f(x) =0 y límx→x0g (x) = ∞; entonces, lím x→x0 f(x) . g(x)= 0.∞; pero
0 . ∞= lím x→x0 f(x) . g(x)= lím x→x0 f(x) . 11g(x)= 0 . 10=0 0
Cuando se calculan limites y se sustituye el punto de acumulacion en el lugar de la variable dependiente, puede presentarse alguna de las siete indeterminaciones, identificadas al principio; si esto sucede se debe recurrir con todos los procedimientos, algebraicos,trigonometricos o geometricos, que sean necesarios para eliminar la indeterminacion.
Resolución de indeterminaciones
Para calcular el límite de una función complicada suelen aplicarse las propiedades generales de los límites. Sin embargo, en ocasiones no es posible recurrir simplemente a tales propiedades, por cuanto aparecen indeterminaciones que es preciso resolver. Se dice que hay unaindeterminación cuando el límite de la función no se obtiene directamente de los límites de las funciones que la componen.
Las más corrientes son:
* Infinito entre infinito (∞/∞): para resolverla, si se trata de funciones polinómicas, se procede a dividir el numerador y el denominador por el término de mayor grado; cuando las funciones presentan radicales, se multiplican el denominador y el numerador...