Limites

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. LÍMITE DE SUCESIONES
1. INTRODUCCIÓN.•

Relación Relación es toda propiedad que comunica los elementos de dos conjuntos o bien comunica entre sí los elementos de un mismo conjunto. En general, una relación se representará por la letra R. Las relaciones que permiten comparar elementos dos a dos reciben el nombre de RELACIONES BINARIAS. Propiedades de las relacionesbinarias.Consideremos un conjunto A y definimos una relación R entre los elementos de dicho conjunto. Las propiedades más importantes que puede tener R son: a. Propiedad reflexiva: aRa b. Propiedad simétrica. Si aRb ⇒ bRa c. Propiedad antisimétrica: Si aRb y bRa ⇒ a = b d. Propiedad transitiva: Si aRb y bRc ⇒ aRc e. Propiedad conexa: aRb ó bRa

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Correspondencia entre dosconjuntos.Diremos que se ha establecido una correspondencia entre dos conjuntos A y B, cuando hemos fijado una relación entre los elementos de A y B. El conjunto A se llama conjunto inicial. Si a Є A elemento origen El conjunto B se llama conjunto final. Si b Є B, elemento imagen. El subconjunto de A formado por todos los elementos que tienen imagen en B se llama Conjunto original. El subconjunto de B formadopor todas las imágenes se llama Conjunto imagen. ◘ APLICACIÓN.- Se denomina aplicación a toda correspondencia completa y unívoca establecida entre dos conjuntos. Clases de aplicaciones: Aplicación inyectiva: Elementos distintos de A tienen imágenes distintas Aplicación suprayectiva o sobreyectiva: Todo elemento de B es, como mínimo, imagen de un elemento de A. Aplicación biyectiva: La que esinyectiva y suprayectiva.

2. DEFINICIONES DE SUCESIÓN INDEFINIDA.Primera definición.- Se llama sucesión indefinida de números reales a una secuencia ordenada de números, denominados términos de la sucesión, que se designan por: a1, a2, a3, …… an, ….. donde el subíndice indica el lugar ocupado por el término en la sucesión y que cumplen las siguientes condiciones: 1.- Hay un primer elemento. 2.- Nohay último elemento. 3.- Se ha dado una regla que permite determinar un elemento cuando se da como dato el lugar que ocupa. Se llama término general de una sucesión a la expresión de su término n-ésimo en función de n Segunda definición.- Se llama sucesión de números reales a una aplicación del conjunto N* = N – {0} en el conjunto de los números reales 1

La imagen de un elemento n Є a N* larepresentaremos por una letra afectada del subíndice n, por ejemplo, an, que se llama término general de la sucesión. La sucesión de término general an se representa por: a1, a2, a3, …… an, ….. o, más sencillamente, por (an); significa que a1, es la imagen de 1, a2 la imagen de 2, etc… N* n Define la sucesión: f: → R → n 2

an =
3. SUCESIONES MONÓTONAS.•

{ 2, 2

2 , 3 2 , ...., n 2 , ...

}Se dice que la sucesión {an} de números reales es una sucesión creciente cuando para todo n ∈ N * se verifica que: an ≤ an+l es decir, cada término de la sucesión es menor o igual que el término que le sigue. Por tanto, en una sucesión creciente se tiene: {an} creciente ⇒ al ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ a5 a6 ≤ ….. ≤ an La sucesión {an} es estrictamente creciente cuando para todo n ∈ N* se cumple larelación an < an+l, es decir: {an} estrictamente creciente ⇒ a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < … < an Ejemplos: a) La sucesión {an} = {2, 2,2, 2,23, 2,236, 2,2360,...}, que define al número real 5 , es una sucesión creciente, pero no es estrictamente creciente, ya que el término 2,2360 no es mayor que 2,236. n-4 1 1 2 = {-3, -1, − , 0, , , …}es estrictamente creciente, ya que cada b) La sucesión {bn} = 4 3 5 6término es menor que el siguiente. c) La sucesión {cn} = {n} = {1, 2, 3, 4,5,..., n} es estrictamente creciente.

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Cualquier sucesión estrictamente creciente es creciente, pero el recíproco no es cierto.
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Se dice que la sucesión {an} es una sucesión decreciente cuando para todo n ∈ N* se verifica que: an ≥ an+1 es decir, cada término de la sucesión es mayor o igual que el término que...