Limites

LIMITES

¿QUE SON LOS LÍMITES?

El límite de las sucesiones cuyo dominio es el conjunto los naturales (N) y cuyo recorrido no es un intervalo real. Ahora, este concepto de limite se hará extensivo a cualquier función real, es decir, funciones cuyo dominio es el conjunto de los reales (R) y cuyo recorrido también. Sin embargo, la variable x en las funcione reales no tiende al infinito comoen las sucesiones, tomando solo valores enteros.

Ej.: f (x)=2x+1

lim f (x) lim 2x+1
x 1 x 1

Tabla De Valores Plano Cartesiano

|x | 0 | 0,5 | 1 | 1,5|
|y | 1 | 2 | 3 | 4 |

Gráfica

Se nota que cuando x se acerca al valor de 1 f(x) se acerca al valor de 3 por eso se dice que el límite de función f(x), cuando x tiende a 1 es igual a 3.

Para hallar el límite f(x) cuando x tiende a 1 basta con reemplazar a x por uno. En ciertas funcionesno es posible hallar directamente el limite reemplazando a x por el valor al cual tiende, si no que se hace necesario factorizar las expresiones a aplicar ciertas propiedades.

Ej. : lim (x2-3x+5)

x 5

Reemplazamos:

(5)2-3(5)+5

25-15+5

15

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS LÍMITES

Se pueden citar muchos ejemplos acerca de las particularidades de loslímites sin embargo, para encontrar el límite de una función en forma directa es conveniente tomar notas de las propiedades de los límites, que enunciaremos mediante los siguientes teoremas de límite:

TEOREMA 1

Si m es una constante, entonces para cualquier numero a

Lim m = m

x a

Ej.: Encontremos

lim 5

x 3

Solución:

Puesto que 5 es una constante, tenemos;Lim 5 = 5

x 3

TEOREMA 2

lim x = a

x a

Ej.: Hallemos

Lim x

x 10

De acuerdo con el teorema, tenemos:

lim x = 10

x 10

TEOREMA 3

Si “m” y “b” son constantes cualesquiera, tenemos

lim (mx ± b) = ma ± b

x a

Ej: Hallemos

lim 7x +15

x 3

Aplicando el teorema, tenemos:

Lim 7x + 15 =7(3) + 15

x 3 = 21 + 15

= 36

TEOREMA 4

Si existen los limites lim f(x)= L y lim g(x)=M y son infinito, se tiene entonces
x a x a

lim [ f (x) ± g (x) ] =L ± M

Ej.: Si f(x) = 25 x - 10, y, g(x) = 15x + 3, encontremosLim [f(x) +g (x)]

x 2

Solución:

Primero aplicamos el teorema 3 para hallar lim f(x), y lim g(x), así :
x 2 x 2

(1) lim f(x) = lim 25x - 10
x 2x 2
= lim 25x – lim 10
x 2 x 2
= 25(2) - 10
= 50-10= 40

(2) lim g(x) = lim 15x + 3
x 2 x 2
= lim 15x + lim 3
x 2 x 2
= 15(2) + 3...