Limites

Moisés Villena Muñoz

Cap. 1 Límites de Funciones

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1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 LÍMITE EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES TEOREMAS SOBRE LÍMITES CÁLCULO DE LÍMITES LÍMITES AL INFINITO LÍMITES INFINITOS OTROS LÍMITES

OBJETIVOS: • • • • Definir Límites. Realizar demostraciones formales de límites. Describir gráficamente los límites. Calcular límites.

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Cap. 1Límites de Funciones

1.1 LÍMITE EN UN PUNTO
El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, veremos más adelante que los dos conceptos principales del Calculo, la Derivada y la Integral Definida, están basados en límites. Por ahora nos dedicaremos al estudio de los límites. Conceptualizar límites determinando elcomportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio de nuestro estudio.

1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA
Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra intención y el estudio de los límites va a permitir esto. Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los quepodamos por simple inspección concluir y tener una idea del concepto de límite. Ejemplo 1
Veamos como se comporta la función la cercanía de x = 2 .

f con regla de correspondencia f ( x) = 2 x + 1 en

Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :

x 1.90 1.95 1.99 2.01 2.05 2.10

y = 2x + 1 4.80 4.90 4.98 5.02 5.10 5.20

En la tabla de valores se han ubicadounas flechas para dar a entender que tomamos a la x aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5. Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma:
x→2

lím (2x + 1) = 5

Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica, observe la figura 1.1:

Fig. 1.1

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Ejemplo 2
Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia
f ( x) = x 2 + 5x − 6 , en la cercanía de x = 1 . x −1 x2 + 5x − 6 x −1 6.90 6.95 6.99 7.01 7.05 7.10

Evaluando la función para ciertosvalores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:

x 0.90 0.95 0.99 1.01 1.05 1.10

y=

Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím
x 2 + 5x − 6 =7. x →1 x −1

Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación. Por otro lado, la regla de correspondenciaf ( x) =

x 2 + 5x − 6 x −1

es

equivalente

a

f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?).
Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica, observe la figura 1.2:

Fig. 1.2

De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía, podemos emitir la siguiente definición:

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Una función f tienelímite L en un punto x0 , si f se aproxima a tomar el valor L cada vez que su variable independiente x se aproxima a tomar el valor x0 . Lo que se denota como:
x→ x0

lím f ( x) = L

Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo; es más, suponga que se necesite bosquejar la gráficateniendo características de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.

1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL
Suponga que se plantea el problema de demostrar que lím 2 x + 1 = 5 o que
x →2

lím
x →1

x + 5x − 6 = 7. x −1
2

Para

esto,

debemos

garantizar

formalmente

el

acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su variable...