Limites

Límites
Que es un límite?
De forma textual es imposible describir al límite ya que es necesario conocer la definición de una sucesión y también relacionarlo con una representación gráfica, para que sea más sencillo conocer al límite y su implicación con las funciones, las sucesiones, las rectas secantes y tangentes, y por último ver su relación con el concepto de derivada.

Propiedades delos límites
Antes de empezar conviene saber cuáles son las propiedades de los límites. Si
•

y 1° propiedad: 2° propiedad:

y = = * 
L  M,

“El límite de una suma es igual a la suma de los límites”

• •

=L*M

“El límite de un producto es igual al producto de los límites”

3° propiedad:

= L / M;

si

“El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siemprey cuando el denominador sea diferente de cero”

•

4° propiedad:

= K * L, para todo
“El límite del producto de una constante “K” por una función (x) es igual al producto de una constante por el límite de una función (x)”

•

5° propiedad:

=

,

,

,

“El límite del logaritmo de “base n” de una función (x) es igual al logaritmo de un límite de una función (x), siempre ycuando “n” sea mayor que cero y diferente de 1”

•

6° propiedad:

=

,

,

“El límite de una función potencia (x) elevado a la “m” es igual a la función (x) elevado a la “m”, siempre y cuando “m” sea mayor que cero y pertenezca a los números Reales “ ” ”

•

7° propiedad:

= K, “El límite de una constante es la misma constante”

•

8° propiedad:

=

,n

,y

“El límite deuna función potencia (x) elevado a la “m/n” es igual a la función (x) elevado a la “m/n”, siempre y cuando “m” y “n” sean mayores que cero y pertenezcan a los números Reales “ ” y “n” sea diferente de cero” Si , entonces: • y f(x) es una función cuyo límite en x = c si existe,

9° propiedad: 10° propiedad: 11° propiedad:

, “El límite del seno de una función f(x) es igual al seno
del límitede la función f(x)”

•

, “El límite del coseno de una función f(x) es igual al
coseno del límite de la función f(x)”

•

, “El límite del tangente de una función f(x) es igual al
tangente del límite de la función f(x)”

•

12° propiedad: 13° propiedad:

, “El límite de la cotangente de una función f(x) es igual
a la cotangente del límite de la función f(x)”

•

, “El límitede la secante de una función f(x) es igual al
secante del límite de la función f(x)”

•

14° propiedad:

, “El límite de la cosecante de una función f(x) es igual a
la cosecante del límite de la función f(x)”

Aún quedan más propiedades por ver, pero con esto es más que suficiente para estudiar el tema y tener las nociones básicas del concepto límite y su relación estrecha con lassucesiones y con el concepto de la derivada.

Demostración de algunas propiedades (forma matemática)
• • • • 1° propiedad: 1° propiedad: 2° propiedad: 3° propiedad: 4° propiedad: =5* = 5 * cos (π) = 5 (-1) = -5.
–

= *

+ –

8 + 3 = 11. = 0 – 1 = –1. = (– 16) (– 16) = 256.

•

11° propiedad:

=

Demostración de la propiedad 2

(forma gráfica)

Sea se demostrará que este límitetiene solución en x cuando éste tiende a .

Gráfica de

(gráfica1)

Para empezar qué sucede cuando se sustituye directamente -1 o a 1 en las x? Sencillo la función se indetermina la función, pero cómo se resuelven este tipo de límites? Bueno hay varias formas de obtener los límites de una función de las cuales sólo se mostrarán tres.  Sustitución directa: Sólo basta con poner la cantidad a lacual las x tienden y listo se resuelve y se obtiene de forma directa, esto no es válido en límites de una constante!*  Artificios algebraicos:* Sólo que hay realizar un poco de álgebra para llegar al resultado, se distinguen los siguientes métodos; ° Factorización (resta de cuadrados y binomio de Newton) ° Binomios conjugados ° Leyes de los exponentes y los radicales ° TCP, resta de cuadrados y...