Limites

LIMITES POR ING ENRIQUE A HURTADO M

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CURSO DE MATEMATICAS II
PARA

INGENIERIA

ENRIQUE A HURTADO M INGENIERO METALURGICO

USACA CALI - COLOMBIA 1996

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MODULO I
1. LIMITES Y CONTINUIDAD

LIMITES Se dice que una función F tiendeal limite L cerca de "a" si F(x) se acerca a "L" a medida que x se acerca hasta "a", siendo x ≠ a y se expresa así:
1.1.
Lim f ( x ) = L
X →a

Si L existe, este valor es único. Una forma elemental de visualizar el concepto de limite lo vemos diariamente en los parqueaderos de la ciudad.
Imagínese en el queriendo estacionar su carro en un parqueadero y haya tenido que acercarse al máximo alauto de al frente sin desear golpearlo o ni siquiera tocarlo la noción de acercarse cada vez mas a algo, pero sin tocarlo, es supremamente importante en matemáticas y tiene que ver con el concepto de limite que es fundamentalmente para el calculo.

Básicamente, se considera que una variable se acerca al máximo a un valor especifico y se examina el efecto que este tiene sobre los valores de lafunción. Por ejemplo, consideremos la función:
F( x) = x 2 − 5x + 6 x −2

la cual no esta definida en x=2 y observemos que sucede con los valores de la función a medida que x se acerca a 2. De la tabla 1.1 concluimos que a medida que los valores de x se acerca por la izquierda a
2 − y por la derecha a

2 + el limite de la función tiende a - 1.0: Grafica 1.1 X F(x) 1.8 -1.2 1.9 -1.1 1.99 -1.011.999 -1.001 2.0 . . –1.0 2.001 -0.999 2.01 -099 2.1 -0.9 3.1 0.1

(x ≠ 2) Es importante recordar que cuando se determina un limite, lo importante no es lo que le
x→2

lim f ( x ) = lim

x 2 − 5x + 6 = −1 x→2 x−2

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sucede a f(x) cuando x es igual a"a", sino lo que ocurre cuando x esta cerca de "a", obsérvese que el limite es independiente del sentido en que x se aproxima a "a", es decir, el limite debe ser el mismo independiente de si x tiende a "a" desde la izquierda o desde la derecha ( para x < a ∧ x > a respectivamente).
1.2.

PROPIEDADES DE LOS LIMITES

Desde las funciones f(x) y g(x) tales que lim f ( x ) = A y lim g ( x ) = B sepueden establecer x→a x→a las siguientes propiedades: 1.2.1. Limite de una suma
lim f ( x ) ± g ( x ) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B
x→a x→a x→ a

1.2.2. Limite de un producto
x→a x →a x →a

lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) = A ⋅ B

1.2.3. Limite de un cociente
x→a x →a x →a

lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) = A B (B ≠ 0 )

1.2.4. Limite de unaconstante
lim k = k
x→a

1.2.5. Limite de una constante por una función
lim k ⋅ f ( x ) = k ⋅ lim f ( x ) = k ⋅ A
x→a x→a

1.2.6. Limite de una potencia
lim x n = a n donde n es un numero entero positivo x →a

1.2.7. Limite de una función [ f ( x )]n
lim[ f ( x )] = lim f ( x )
n x→a x →a

[

]

n

n>0

CONTINUIDAD La grafica de una función continua no tiene interrupción, sepuede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Una función f es continua en x=a si se cumplen las 3 condiciones siguientes: • f(x) esta definida, es decir, existe en x=a. • lim f ( x ) existe. x→ a
1.3.

• lim f ( x ) = f (a ) x→a Si f no es continua es un punto, se dice que es discontinua ahí. De las propiedades de la continuidad, se pueden demostrar que para todo x real: • Todas las funcionespolinómicas son continuas. • Todas las funciones racionales son continuas, excepto donde son indefinidas, es decir, donde sus denominadores son iguales a cero y suponiendo que f(x) y g(x) son

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continuas en un punto, en ese punto. • f ( x ) ± g ( x ) es...