Limites

LÍMITES

LECCIÓN 6

Índice: Cálculo de límites en el infinito. Expresión indeterminada
∞-∞. Expresión indeterminada ∞/∞. Expresión indeterminada 0·∞. Expresión indeterminada 1±∞. Límites de sucesiones. Cálculo de límites
en -∞. Problemas.

1.- Cálculo de límites en el infinito
El cálculo de límites en el infinito se reduce a aplicar sistemáticamente las reglas enunciadas en el apartado 1de la lección anterior, así como la tabla de los límites. Además se utilizan dos resultados ya vistos (problemas 2 y 3 de la lección 2):
1º) El límite de la función f(x)=k, tanto en -∞ como en +∞:
lím k=k

lím k=k

x→-∞

x→+∞

2º) El límite de la función f(x)=x, tanto en -∞ como en +∞:
lím x=-∞

lím x=+∞

x→-∞

x→+∞

Veamos como ejemplo el límite de la función polinómicaf(x)=3x2-8
en +∞:
1

2

3

lím f(x) = lím (3x2-8) = lím (3x2)- lím 8 = 3· lím x2- lím 8 =

x→+∞

x→+∞

x→+∞

x→+∞

x→+∞

x→+∞

4

= 3·( lím x)2- lím 8 = 3·(+∞)2-8
x→+∞

x→+∞

Como se ve, todos estos pasos se reducen a sustituir x por +∞, lo
que se conoce con el nombre de dar el paso al límite. Eso es lo que
haremos de ahora en adelante:
5

6

6

6

lím f(x) = lím(3x2-8) = 3·(+∞)2-8 = 3·(+∞)-8 = +∞-8 = +∞

x→+∞

x→+∞

En este caso se trata de un límite determinado. Si fuese indeterminado, esto es, si al dar el paso al límite aparece una expresión
indeterminada, hay que operar adecuadamente para convertirlo en determinado. Las operaciones que se hacen dependen del tipo de indeterminación que aparezca. Es lo que veremos en los siguientes apartados.
1El límite de una resta es la resta de los límites (primera regla de las operaciones con
límites).
2
El límite del producto de un número por una función es el producto del número por el límite de la función (segunda regla de las operaciones con límites).
3
El límite de un producto (x2=x·x) es el producto de los límites (tercera regla de las operaciones con límites).
4
Por los resultadosmencionados más arriba (los problemas 2 y 3 de la lección 2).
5
Damos el paso al límite.
6
Aplicamos la tabla de límites.

- 1 -

2.- Expresión indeterminada ∞-∞
∞
Las funciones más sencillas en las que puede aparecer esta expresión indeterminada son las funciones polinómicas:
1

2

lím (x2-x) = (+∞)2-(+∞) = ∞-∞

x→+∞

A diferencia de lo que nos ocurría en el ejemplo anterior,aquí
aparece una expresión indeterminada. Para eliminarla, se saca factor
común3 la máxima potencia de x:
2
2
1 1
1 2
lím (x2-x) = lím x2·1- x = (+∞)2·1 +∞ = +∞·(1-0) = +∞·1 = +∞



x→+∞
x→+∞



Observa que este método funciona incluso en aquellos casos en los
que no necesita ser aplicado:
1
2
2
8
8 2
lím (3x2-8) = lím x2·3- x2 = (+∞)2·3 +∞ = +∞·(3-0) =+∞·3 = +∞


x→+∞
x→+∞ 



Por tanto, lo utilizaremos siempre que tengamos que calcular el
límite en el infinito de un polinomio, sin esperar a ver si sale o
no la indeterminación ∞-∞.

3.- Expresión indeterminada ∞/∞
∞
Las funciones más sencillas en las que puede aparecer esta expresión indeterminada son las funciones racionales (cocientes de polinomios):
1
1
x3·1- x2 5x2·1- x2 1
x3-x 4




lím x+8 = lím
lím
=
8 = x→+∞
8
x→+∞
x→+∞
x·1+ x
1+ x


1 
(+∞)2·1 (+∞)2 2
+∞·[1-0] 2


=
=
= +∞
8
1+0
1+
+∞
Por tanto, la expresión indeterminada ∞/∞ se elimina sacando factor común la máxima potencia de x en el numerador y en el denominador, y simplificando a continuación.
1

Damos el paso al límite.
Aplicamos la tabla delímites.
3
Recuerda lo dicho en el apartado 4 de la lección anterior.
4
Procedemos con cada polinomio como hemos indicado antes.
5
Si diésemos aquí el paso al límite, aparecería la indeterminación ∞/∞. Antes de darlo,
simplificamos numerador y denominador.
2

- 2 -

L-6

4.- Expresión indeterminada 0·∞
∞
La expresión indeterminada 0·∞ suele aparecer en algunas restas de
raíces. Por...