limites

Límite de una función en un punto: definición intuitiva
Si a y b son dos números, la expresión lim f(x) =b
x →a
quiere decir que si la variable independiente x toma valores próximos al número a,
los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número b
Importante: si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser
un número y además único.
2

x –1
Ejemplo: Lafunción f(x) = 2
x – 3x + 2 no está definida en los puntos 1 y 2. ¿Cómo se comporta
cuando x toma valores cada vez más próximos a 1?

x
0,98
0,99
0,999 0,9999
1
1,0001 1,001 1,01
1,1
f(x) –1,9412 –1,9703 –1,9970 –1,9997 no existe –2,0003 –2,003 –2,0303 –2,3333
• Cuando x se acerca a 1 por la derecha f(x) se acerca a – 2
• Cuando x se acerca a 1 por la izquierda f(x) se acerca a – 2

x2– 1
Se escribe lim 2
=–2
→1 x – 3x + 2
x

Límite de una función en un punto: definición formal
Def: Sean a y L dos números reales. Una función f(x) tiene límite L en el punto
x = a si para todo número real ε > 0 existe otro número real δ > 0, tal que si
0 < |x – a | < δ ⇒ |f(x) – L | < ε

Para cada ε > 0

Hay un δ> 0

0 < |x – a | M si x > K donde K debe ser
función de M.
En lamedida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca
f(x) = x2?

x

10

102

103

104

→ +∞

f(x) = x2

102

104

106

108

→ +∞

lim x2 = + ∞
x→ + ∞

Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.

Ejemplo de comportamiento en el infinito: no existe límite

Cuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estasfunciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1.
Ambos límites no existen.

Cálculo de límites

Límites simples
Cuando las funciones verifican

lim f ( x )= f ( a )
x→ a

se pueden obtener directamente

por el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x
por el de a hacia el que tiende.

Algunos límites típicosx

•

sen x
x

lim
x→ 0

•

=1

ax a

lim 1 + x = e , para todo a

x ∞
→





•

e
lim p = ∞ para todo p
,
x→∞ x

•

lim ln px = 0, para todo p > 0
x→∞ x

Cálculo de límites simples: ejemplos

x2 cos x + e2x
0 . 1 + e0
lim ln (x + 1) + x3 + 1 = ln 1 + 0 + 1 = 1
x→0

x3 + x – 1
lim x – 100 + x2 – 1  = –100 + 1 = – 99



 2

x→02
2
.
3
(x – 2x + 1)  3
(1 –2 1+1)


2x3 – 2x + 1
2 . 13–2 . 1 + 1
lim 
=
= 10 = 1


3
3
x –x + 1 
1 –1+1 

x→1 

–2x2 + 3
–2 . 32 + 3
15
lim x3 – 2x + 5 = 3
= – 16
3 – 2 .3 + 5
x→3

Indeterminaciones: tipos
Cuando podemos calcular el límite de la operación de dos o más funciones, aun sin
conocerlas, decimos que el límite es determinado. Aplicandolas propiedades de los límites
podemos obtener el límite buscado. En caso de que no podamos aplicar ninguna propiedad
que nos permita calcular el límite, diremos que es indeterminado.

lim f(x) = 2

lim f(x) = 0

lim g(x) = 3

lim g(x) = 0

x→a

x→a

x→a

x→a

f(x) 2
g(x) = 3
x→a

f(x)
Para
No es posible obtener lim
g(x) .
x→a

Entonces lim

poder salvar laindeterminación hemos
de conocer f y g.
Este resultado no depende de las funciones f y
g. El límite es determinado.

Tipos de
indeterminaciones

L
≠
0/ L 0

0
0

Este límite depende de las funciones f y g. El
límite es indeterminado.

∞
∞

0.∞

∞–∞

∞0

00

∞

1

Cuadro de indeterminaciones: Forma de resolverlas
Tipos de
indeterminaciones

L
≠
0/ L 0

0
0

∞
∞0.∞

∞–∞

∞0

00

∞

1

•En las del tipo L/0 con L no nulo, se calculan los límites laterales
•En las del tipo 0/0

Si hay raíces, se multiplica por el conjugado de la expresión con
raíces y luego se factoriza y simplifica
• Si no hay raíces, se factoriza y simplifica

•En las del tipo

∞
Se dividen numerador y denominador por la máxima potencia
∞

•En las del tipo ∞...