Limites

⎧a 3 x − 1 , − 1 ≤ x < 2 ⎪ 1. Dado la función f ( x ) = ⎨ x b − x , 2 < x < 4 halle los valores de a y b de ⎪ 16 , x = 2 ⎩ modo que f sea continua en x=2. Solución. Aplicando definición decontinuidad • f ( 2) = 16
•
x→2− −

lim a 3 x − 1 = a 5 = 5a

x →2 +

lim x b − x = 2 b − 2 ⇒ 5a = 2 b − 2

• f ( 2) = 16 = 4a = 2 b − 2 entonces a = 4 y b = 66 2. Calcular el valor de k para que lassiguientes funciones sean continuas: ⎧ x + 1 si x ≤ 2 ⎧ x + k si x ≤ 0 b) f ( x) = ⎨ 2 a) f ( x) = ⎨ ⎩k − x si x > 2 ⎩ x − 1 si x > 0 Si x ≠ 2 , la función es continua. Solución. lim− x + 1 = 2 + 1 =lim k − x = k − 2 ⇒ k=5 +
x→2 x→2

x ≠ 2 la funciones son continuas. 3. Hallar las constantes a y b para que f sea continua. ⎧ sen x , −π < x < 0 ⎪ ⎪ x f ( x ) = ⎨ ax + b , 0 ≤ x < π ⎪cos x , π ≤ x≤ 2π ⎪ ⎩ Solución. sen x • lim = 1 = a (0) + b = lim ax + b entonces b=1 − x →0 x →0 + x • lim− ax + 1 = aπ + 1 = cos π = lim+ cos x entonces a=-2/ π
x →π x →π

x →0

lim− x + k = 0 + k = lim+ x2 − 1 = 0 − 1 ⇒ k = −1
x →0

4. Establezca si la función f es o no continua en el punto dado. Si es discontinua, indique el tipo de discontinuidad. ⎧t 2 − 9 , t ≤ 3 9x2 − 4 a) f ( x ) = b) f ( x )= ⎨ 3x − 2 ⎩ t ,t > 3 c) f ( x) = x2 + x + 1 x3 − 1 d)
⎧6 x − 1 + 1 , x > 5 f ( x) = ⎨ ⎩ 10 , x = 5

Solución.

a)

(3x − 2)(3x + 2) 9x2 − 4 = lim (3x + 2) = 3(2 / 3) + 2 = 4 = lim x→2 / 3 3x− 2 x→2 / 3 x→2 / 3 3x − 2 f ( 2 / 3) = no existe entonces f tiene discontinuidad evitable en x=2/3 lim

⎧ 9x2 − 4 , x ≠ 2/3 ⎪ ⎪ f * ( x ) = ⎨ 3x − 22 función continua. 9x − 4 ⎪ lim , x = 2/3 ⎪ x→2 /3 3x − 2 ⎩ b) lim t 2 − 9 = 32 − 9 ≠ 3 = lim t no existe el límite − +
x→3 x→3

entonces f tiene discontinuidad esencial en 3.
x2 + x +1 x2 + x +1 1 = lim = lim = ±∞ no existe 2 3 x→1 x→1 ( x −1)( x + x + 1) x→1 ( x − 1) x −1 entonces f tiene discontinuidad esencial en 1. d) lim 6 x − 1 + 1 = 13 ≠ 10 = f (5) entonces f tiene discontinuidad evitable en 5. +

c) lim

x→5

Entonces...