Limites

Introducción

En el siguiente informe se quiere dar a conocer el concepto de limite así como los diversos tipos de límites que existen, para así tener un conocimiento más amplio sobre el tema así poder identificarlos y diferenciarlos para aplicar las reglas debidamente. De igual manera se brindaran los teoremas existentes para solucionar los límites de la manera adecuada.
Cada tipo de limitese ejemplificara para su mayor comprensión así se puede tener una idea mucho más clara de lo que se quiere demostrar mediante el tema.

Índice

Introducción 2
Objetivos 4
Justificación 5
Definición de Límite 6
Limites trigonométricos 10
Limites algebraicos 11
Limites racionales 13
Limites laterales 15
Límites infinitos 17
Tipos de Continuidad 21
Conclusión 27Bibliografía 28

Objetivos

General:
Conocer y reforzar más a fondo los temas vistos en clase para poder ejercer una mejor aplicación de ellos.
Específico:
Estudiar un poco más el tema de límites para poder tener mucho más claros los casos a utilizar en la solución de cada uno de ellos.

Justificación

El presente trabajo ha sido elaborado con el fin de ampliar y profundizar más losconocimientos acerca de los diferentes conceptos de límites, sus propiedades y los tipos que existen, y como podemos resolver problemas de límites, también se profundizara más acerca de los tipos de continuidad que son reversibles e irreversibles, esto nos ayudara para comprender mucho más los contenidos de la materia.

Definición de Límite

El límite es un concepto que describe la tendencia de unasucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
La idea de límite es central en el estudio del cálculo y ha sido usada en muy diversas formas a través delos siglos. Desde los Griegos varios siglos antes de Cristo, en el método de exhausión, donde Arquímedes ocupa un lugar muy importante, varios siglos más tarde Newton la usó en sus famosos fluxiones con los cuales desarrolló el cálculo y Cauchy que formalizó la idea con la definición que conocemos en nuestros días. Para ilustrar este concepto tan importante empezaremos por un ejemplo.Consideremos la función f(x)=1-(x-2)2 y
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, yse lee como:
"El límite de f de x cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
Límites notables
Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveenresultados muy interesantes.
*     (número e)
*
*
Demostración
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuaciónsen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando ellímite cuando x tiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando...