Limites

Límite de una función

Límites Laterales

Indeterminaciones

Límites Infinitos

Límites al Infinito

CÁLCULO-I
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Carlos Felipe Piedra Cáceda.
Licenciado en Matemática.
Con estudios de Maestría en Ingeniería Matemática.

3 de octubre de 2012

Ejemplos Aplicados

Límite de una función

Límites Laterales

Indeterminaciones

Límites Infinitos

Límites alInfinito

Ejemplos Aplicados

Límite
Idea intuitiva de límite
El límite de una función (cuando existe) es un valor numérico L y
es el resultado de la evaluación de valores “muy ” cercanos a un
número “a” en el dominio de f .
Ejemplo: Dado f (x ) =
x

f .x/ D 3x

1:8

4:4

1:9

4:97

1:999
1:9999

no está definida en x = 2

4:7

1:99

3x 2 −7x +2
,
x −2

1

x

f.x/ D 3x

2:2

5:6

2:1

5:3

2:01

5:03

4:997

2:001

5:003

4:9997

2:0001

5:0003

y

y D f .x/ D 3x




˛D5

1:99999 4:99997
#

5

2:00001 5:00003

#

2

1



x0 D 2

x

#

#

2

5

1

Límite de una función

Límites Laterales

Indeterminaciones

Límites Infinitos

Límites al Infinito

Ejemplos AplicadosDefinición de Límite
El límite de f (x ) cuando x tiende a “a”, es el número L, que se
escribe:
l« f (x ) = L
ım
x →a

siempre que f (x ) esté arbitrariamente cercana a L para toda x lo
suficientemente cerca, pero diferente de “a”. Si no existe tal
número, se dice que el límite no existe.
Propiedad:
Si f es una función polinómica o racional y a está en el dominio de
f , entonces:
l« f (x ) = f(a)
ım
x →a

Límite de una función

Límites Laterales

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Límites Infinitos

Límites al Infinito

Ejemplos Aplicados

Propiedades de los límites
Sea c una constante y los límites: limx −→a f (x ) y limx −→a g(x )
existen. Entonces:
1. lim ͓ f ͑x͒ ϩ t͑x͔͒ ෇ lim f ͑x͒ ϩ lim t͑x͒
xla

xla

xla

2. lim ͓ f ͑x͒ Ϫ t͑x͔͒ ෇ lim f ͑x͒ Ϫ lim t͑x͒
xla

xla

xla3. lim ͓cf ͑x͔͒ ෇ c lim f ͑x͒
xla

xla

4. lim ͓ f ͑x͒t͑x͔͒ ෇ lim f ͑x͒ ؒ lim t͑x͒
xla

5. lim

xla

xla

lim f ͑x͒
f ͑x͒
෇ xla
t͑x͒
lim t͑x͒
xla

6. lim ͓ f ͑x͔͒ n ෇ lim f ͑x͒
x la

[

x la

n

]

xla

if lim t͑x͒
xla

0

where n is a positive integer

Límite de una función

Límites Laterales

Indeterminaciones

Límites Infinitos

Límites alInfinito

Ejemplos Aplicados

Propiedades de los límites
Sea c una constante y los límites: limx −→a f (x ) y limx −→a g(x )
existen. Entonces:
7. lim c ෇ c

8. lim x ෇ a

x la

x la

Propiedad N◦ 9
n
n
lim sf ͑x) ෇ s lim f ͑x)

x la

x la

where n is a positive integer

[If n is even, we assume that lim f ͑x͒ Ͼ 0.]
x la

Propiedad N◦ 10

Límite de una función

LímitesLaterales

Indeterminaciones

Límites Infinitos

Límites al Infinito

Ejemplos Aplicados

Límites Laterales
Límites Laterales
El l« f (x ) existe y es igual a L si y sólo si l« + f (x ) y l« f (x ) existen
ım
ım
ım
x →a

x →a

y son iguales a L.
EJEMPLO

x →a−

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EjemplosAplicados

Límites Laterales
EJEMPLO

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Límites Laterales

Indeterminaciones

Límites Infinitos

Límites al Infinito

Ejemplos Aplicados

Límites Laterales
EJEMPLO

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Límites Laterales

Indeterminaciones

Límites Infinitos

Límites al Infinito

Ejemplos Aplicados

Límites Laterales
EJEMPLO

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Límites Laterales

Indeterminaciones

Límites Infinitos

Límites al Infinito

Ejemplos Aplicados

Indeterminaciones
Si en el proceso de calcular el límite, aparecen expresiones como:
0 L ∞
0
∞
∞ y ∞0 . Éstas expresiones son
0 , 0 , ∞ , 0.∞, ∞ − ∞, 0 , ∞ , 1
llamadas indeterminaciones. Con el propósito de evitar éstas
indeterminaciones, se debe emplear procesos...