limites

Concepto de límite
Objetivo: Utiliza las propiedades de los lìmites en la soluciòn de problemas
Historia
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notaciónmoderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.1 Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expusolímites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.2 La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada porWeierstrass en los 1850 y 18603 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy ensu libro A Course of Pure Mathematics en 1908.
Definición formal
Funciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Si la función tiene límite enpodemos decir de manera informal que la función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo distintode Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de unafunción f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función

Esto, escrito en notación formal:

Lo importante escomprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si ellímite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite...