limites

1. Escribir los primeros cinco t´ rminos de las siguientes sucesiones {sn }
e
(a) sn = c, c constante.

(b) sn = (−1)n

(c) sn =

1
n3

(d) sn =

(−1)n
n2

1
(−1)n
(e) sn = 1 + .(f) sn = 1 +
(g) sn = cos nπ
n
n
(h) s1 = −1, s2 = 1, sn = 2sn−2 + sn−1 , n ≥ 3
´
2. Demuestre usando la definicion que:
1
n
(a) lim 2 = 0
=1
(b) lim
n→∞ n
n→∞ n + 1
n+3
(−1)n
(c) lim3
=0
(d) lim 1 +
n→∞ n + 2
n→∞
n

=1

´
3. Las sucesiones {sn } son todas convergentes, por tanto si lim = L. Usando la definicion, enn→∞

cuentre el valor de N que corresponde a lossiguientes valores de :
n
n+1
2n
(e) sn = 3
n +1

1
n
1
(d) sn =
n!
(a) sn =

(b) sn =

(c) sn =

= 1; 0, 1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001.

(−1)n
n

(f) sn =

(−1)n

n

9
10

4.Para las sucesiones dadas en 3) estudie; monoton´a, acotamiento (supremo e ´nfimo) si exisı
ı
ten.
5. Calcule los siguientes l´mites de sucesiones:
ı
n2 − n
n2 − n
−n2 − 4n + 1
(c) lim
(d) limn→∞
n→∞ 2n2 + n
n→∞ 2n + 1
n→∞
1 + 3n
√
3
3n4 + n3 − 6n
n+4
2n
(e) lim
(f) lim √
(g) lim
n→∞ 5n4 + 12n2 + 7
n→∞
n → ∞ 1 + 5n
n−1

(a) lim (n2 − n)

(h) lim √
n→∞

(k) lim

n→∞(k) lim

n→∞

(b) lim

n2 + 1 + n

3
1+
n
1 − 2n
3 − 3n

(i) lim

n2 + 2n n2 + 2n
−
n+1
n−1

(l) lim

n+1

3n + 1
2n + 1

n→∞

n +2
n→∞

n

(l) lim

n→∞

1 −2n
3 + 2n

(j) lim

n→∞

n +2

(m) lim

n→∞

3n + 1
3n − 1

1
1−
n

n

n +3

n

(m) lim

n→∞

1

n2 + n −

n2 − 2n

6. Pruebe que si lim sn = s, con s finito oinfinito, entonces lim
n→∞

n→∞

Teorema de Stolz)

s1 + s2 + · · · + s n
= s (Use
n

√
7. Pruebe que si lim sn = s, s, sn > 0 y s finito o infinito, entonces lim n s1 s2 · · · sn = lim sn =
n→∞n→∞
n→∞
s
√
sn
sn
8. Pruebe que si lim
= s, sn > 0 y s finito o infinito, entonces lim n sn = lim
=s
n → ∞ s n −1
n→∞
n → ∞ s n −1
9. Verifique que:
√
(a) lim n n = 1

√
n

(b)...