Limites

UNIDAD III
Limites y Continuidad

3.1 Definición de liímite

Generalización del concepto de límite
Sea una función definida para valores reales en los alrededores de un número b, aunque no necesariamente en b mismo, como se representa gráficamente a continuación:

Se observa que cuando entonces lo que se escribe como:

Recordemos que al calcular no importa que la función , esté o nodefinida en ; lo que interesa es que f esté definida en las proximidades de b.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función cualquiera para la que :

 
Observe que aunque , para valores de próximos a se tiene que , por lo que puede escribirse siempre
Observe ahora la siguiente representación gráfica de una función .

En este caso, cuando tiende a por la derecha, quese escribe , la función tiende a , pero cuando tiende a por la izquierda, (denotado ) los valores de tienden a T.
Así, la función no tiende a un mismo valor cuando , por lo que se dice que no existe
Consideremos ahora la función definida por con , cuya representación gráfica es la siguiente:

Observe que cuando , entonces tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, (es decir, ), yque cuando , toma valores negativos cada vez menores, ( ). Así, no tiende a ningún número real fijo y se dice que no existe.
Formalización de la idea intuitiva de límite
En el ejemplo 1 se analizó el comportamiento de la función con ecuación en las proximidades de 2.
Expresamos como , el hecho de que para acercar los valores de la función tanto como se quisiera a 3, era suficiente acercaradecuadamente al valor 2, ().
De otra forma, puede decirse que es tan pequeño como se quiera, siempre que sea suficientemente pequeño, aunque no igual a cero.

Utilizaremos las letras griegas (epsilon) y (delta) para escribir en forma más precisa lo anterior.
son números reales positivos que indican qué tan pequeño queremos hacer el valor absoluto de la diferencia entre y 3, y el valor absolutode la diferencia entre y 2 respectivamente.
Se dice entonces que será menor que , siempre que sea menor que y .
Luego, si para cada puede encontrarse un tal que , entonces se dice que
Observe que se establece la condición , ya que únicamente nos interesa saber como es para valores de cercanos a 2, no en 2 mismo, en cuyo caso sería igual a cero.
Gráficamente tenemos:

 
Se tiene que,en el eje , los valores están entre y , siempre que los valores de , en el eje de , se localicen entre , o sea .
En general, el valor de es escogido arbitrariamente, pero la elección de depende de la elección previa de . No se requiere que exista un número "apropiado" para todo , si no que, para cada existe un específico.
Entre ,más pequeño sea el valor que se escoja de , más pequeño será elvalor del correspondiente .
Luego, para el ejemplo 1, decimos que , pues para cada , existe , tal que , siempre que .
En general, para una función cualquiera, el significa que "la diferencia entre y puede hacerse tan pequeña como se desee, haciendo simplemente que esté suficientemente próximo a , ".

Sea una función definida en una vecindad del punto .
Definición 
Se dice que , si paracada número positivo , por pequeño que este sea, es posible determinar un número positivo , tal que para todos los valores de , diferentes de , que satisfacen la desigualdad , se verificará la desigualdad .

Luego, si y solo si para cada tal que si , entonces .
En forma gráfica se tiene:
para cada | existe |
| |
 
tal que si  | entonces  |
| |
|
 
También el puedeinterpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad se deduce que , entonces todos los puntos en la gráfica de la función con ecuación , que corresponden a los puntos que se localizan a una distancia no mayor que del punto , se encontrarán dentro de una franja de ancho ,limitada por las rectas , como se muestra en la siguiente figura:

Puede decirse entonces que la definición de límite dada...