Limites

DEBER Nº 5

Nombres: Rodney Montenegro Paralelo: GR-2
Francisco Barreno
Mario González
Paúl Díaz

Fecha: 2010/09/28

57. Sea la función real f, definida por:

fx=-x2+1, x<21,x=2x-2,x>2

a) Calcular los límites laterales cuando x → 2
b) Existe el limx→2fx

fx=-x2+1,x<21,x=2x-2,x>2

fx=-x2+1, x<21,x=2x-2,x-2≥0 ∧ x>2-x-2,x-2<0∧x>2

fx=-x2+1, x<21,x=2x-2,x≥2 ∧ x>2 -x-2,x<2∧x>2 ∅

fx=-x2+1, x<21,x=2x-2,x>2

a) Calcular los límites laterales cuando x → 2

1). limx→2+fx=limx→2+x-2=limx→2+x-limx→2+2=2-2=0

2). limx→2-f(x)=limx→2--x2+1= limx→2-1-(limx→2-x)2=1-4=-3


b) Existe el limx→2fx

limx→2+fx≠limx→2-fx

∴limx→2fx noexiste

58. Sea la función real f, definida por:
f(x)=1-xsi 1≤x<3x2si x=3-x2+2x+1si x>3

a) Calcular los limites laterales cuando x→3
b) Existe el limite limx→3f(x)

a)
limx→3-1-x=1-3= -2
limx→3+-x2+2x+1=-32+23+1=-9+6+1=-2
b)
limx→3-fx=limx→3+fx=limx→3fx=-2
∴limx→3fx=-2 existe

59.- Si fx= x2-1x-1;hallar:
a) limx→1+f(x)
b) limx→1-f(x)
c) ¿∃limx→1f(x)?
fx=x2-1x-1, si &x<-1∪x>1-x2-1x-1, si-1<x<1
fx= x+1, si &x<-1∪x>1 1-x, si-1<x<1
a) limx→1+x+1=2
b) limx→1-1-x=0

c) limx→1+x+1≠limx→1-1-x ∴ limx→1f(x) ∄

60.- si fx=x2+a si x≥1x+b si x<1
Hallar la relación entre a y b tal que ∃limx→1fx.
limx→1+fx=limx→1+x2+a=1+a.
limx→1-fx=limx→1-x+b=1+b.
Para que, ∃limx→1fx.limx→1+fx=limx→1-fx
1+a=1+b
a=b
∴ab=11
61. Sea
fx=2x-a,si x<-3ax+b,si-3≤x≤3b-5x,si x>3

Hallar a y b tal que: ∃limx→-3fx∧∃limx→3fx
I) Continuidad en x=3
i) f3=3a+b existe
ii)limx→3-fx=limx→3-ax+b= 3a+blimx→3+fx= limx→3+b-5x=b-15
limx→3-fx= limx→3+fx
3a+b = b-15
iii)f3=limx→-3fx
1) 3a+b=3a+b = b-15
I) Continuidad en x=-3
i) f-3=-3a+b existe
ii)limx→-3-fx=limx→-3-2x-a= -6-a
limx→-3+fx= limx→-3+ax+b=-3a+b
limx→-3-fx= limx→-3+fx
-6-a = -3a+b
iii)f3=limx→-3fx
2) -3a+b=-6-a = -3a+b
1) 3a+b = b-15→3a=-15→a=-5
2)-3a+b=-6-a→-2a+b+6=0
Reemplazamos a en 2 →10+b+6=0→b=-16
a=-5 ∧b=-16
62. Sea f
f(x)=2x2+asi x<0ax+3si 0≤x<23b-xx-1si x≥2
Hallar a y b tal que
∃limx→0fx y ∃limx→2f(x)

limx→0-2x2+a=20+a=a

limx→0+ax+3=a0+3=3

limx→0+fx=limx→0-fx=limx→0fx=3=a
∴a=3

limx→0fx=3

limx→2-ax+3=a2+3=2a+3

limx→2+3b-xx-1=3b-22-1=3b-2

limx→2+fx=limx→2-fx=limx→2fx=3b-2=2a+33b-2=2a+3
3b-2=2(3)+3
3b=6+5
b=113

limx→2fx=3b-2
limx→2fx=3113-2
limx→2fx=9
limx→2fx=2a+3
limx→2fx=23+3=9
63.-limx→13x+3+6-23x-9+3-1
limx→13x+3+6-23x-9+3-1.3x+3+62+3x+3+68+3823x+3+62+3x+3+68+382.3x-9+3+13x-9+3+1=
limx→1x+3-23x-9+3+13x-9+23x+3+62+3x+3+68+382. x+3+2x+3+2.3x-92-3(x-9)8+3823x-92-3(x-9)8+382=limx→1x-13x-9+3+1(3x-92-3x-98+382)x-13x+3+62+3x+3+68+382(x+3+2)=limx→13x-9+3+1(3x-92-3x-98+382)3x+3+62+3x+3+68+382(x+3+2)= 31-9+3+1(31-92-31-98+382)31+3+62+31+3+68+382(1+3+2)=2(4--4+4)4+4+4(4)=12
65.limx→-∞ln1+exx=-∞-∞
limx→-∞ln1+exx=limx→-∞ln1+1exlimx→-∞x=ln1-∞=0-∞=0
66.-limx→π2x+πcosx

limx→π2x+πcosx=π2+πcosπ2=3π20 indeterminado

x-π2=yx→π2y→0
limy→0y+π2+πcosy+π2=limy→0y+3π2cosy cosπ2-seny.senπ2=limy→0y+3π2-seny
=limy→0-1yseny+limy→03π2-seny=limy→0-1limy→0senyy-1+limy→03π2-seny=-11+∞
limx→π2x+πcosx=∞

67.-limx→π3sin(x-π3)1-2cosx
limx→π3sinx-π31-2cosx si x-π3=y x→π3y→0...