Limites

UNIDAD 6

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

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1. Representa gráficamente las siguientes funciones y di, si es continua o discontinua: 4   x2 + 3 x < 1 a) y =  b) y =  4 – x 5 – x2 x ≥ 1  2x – 11   —  c) y =  √ x + 3 x < 1  2/x x≥1 a)
6 4 2 –2 –2 2 –4 –2 –2 –4

de cada una de ellas, x5

b)
6 4

c)

6 4 2

2 –4 2 4 6 8 –2 –2 2 4 6

Las tresson continuas. 2. Si dispusieras de una buena lupa, podrías realizar el siguiente experimento: Observa un objeto pequeño (por ejemplo, el capuchón de un bolígrafo verde), poniendo la lupa a una distancia de 10 cm. El objeto se ve notablemente ampliado. Varía la distancia y observa lo que ocurre: • Si pegas la lupa al objeto, éste se verá de su mismo tamaño. • Si la separas poco a poco, verás cómose va ampliando el tamaño del capuchón, de modo que, al llegar a una cierta distancia, se verá toda la lupa verde. • Situando la lupa más allá de esa distancia, se verá el objeto grande e invertido. Si seguimos separándola, irá disminuyendo su tamaño… Para una cierta lupa, la ecuación que relaciona el aumento, A, con la distancia, d, a la que se coloca el objeto es: 2 A= 2–d
Unidad 6. Límites defunciones. Continuidad y ramas infinitas

1

d = distancia de la lupa al objeto (en dm) A = aumento (número por el que se multiplica el tamaño) El observador debe situarse de modo que la lupa esté a la mitad de la distancia entre el objeto y su ojo.
AUMENTO

(en n- de veces) º

DISTANCIA (en

dm)

Calcula el tamaño aparente del objeto para los siguientes valores de d y observa cómova aumentando al aproximarnos a 2 para luego disminuir según nos alejamos de este valor: 0,1 d A 0,1 1,05 0,5 0,5 1,33 1 1,5 1 2 1,9 1,5 4 1,99 1,9 20 2,01 2,01 –200 3 10 3 –2 10 –0,25

1,99 200

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3. Vamos a comprobar que la gráfica de la función y = f (x) = aproxima a la recta de ecuación y = x – 2. Completa en tu cuaderno esta representación, obteniendo los valores de f (x) paralos siguientes valores de x : 5 6 7 8 9 10 x 2 – 3x + 1 se x–1

Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

2

Observa que la gráfica de la curva y = f (x) se aproxima a la de la recta cada vez más. Por ello, a dicha recta se le llama asíntota de la curva. Comprueba para valores muy grandes de x que la diferencia entre curva y recta llega a ser muy pequeña. x y = f (x)y=x–2
DIFERENCIA

50

100

1 000

Comprueba, mediante pasos similares a los anteriores, que la función x3 y= 2 tiene por asíntota a la recta de ecuación y = x + 2. x – 2x x f (x) x y = f (x) y=x–2
DIFERENCIA

5 2,75

6 3,8 50 47,98 48 0,02

7 4,83

8 5,86

9 6,88 1 000 997,999 998 0,001

10 7,89

10 8 6

100 97,99 98 0,01

4 2 –2 –2 2 4 6 8 10

Para y = f (x) =

x3 x 2 –2x 100 1 000

10 8 6 4 2 –2 –2 2 4 6 8

x y = f (x) y=x+2
DIFERENCIA

50 52,08 52 0,08

102,04 1 002,004 102 1 002 0,04 0,004

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1. Explica por qué la función y = x 2 – 5 es continua en todo Á. Porque está definida en todo Á. 2. Explica por qué la función y = √ 5 – x es continua en (– ∞, 5]. Porque su dominio es (–∞, 5].
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramasinfinitas

3

3. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es continua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta: a) y = x+2 x–3
2 b) y = x – 3x x 2 c) y = x – 3 x

d) y = 1 x2

 3x – 4, x < 3 e) y =   x + 1, x ≥ 3

 3 si x ≠ 4 f) y =   1 si x = 4

a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical). b) Discontinuidad evitable en x =0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical). d) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical). e) Salto en x = 3. f ) Salto en x = 4.

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1. Calcula: a) lím a) – 3 2
x→0

3 x–2

b) lím √ x 2 – 3x + 5
x→2

c) lím log10 x
x → 0,1

b) √ 3

c) –1

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 x 3 – 2x + k, x ≠ 3 2. Calcula k para que y =  sea continua en Á. x=3  7,
x→3

lím...