limites

El Concepto de Diferencial
Introducción
Definición y ejemplos
Problemas del tipo I
Problemas del tipo II
Problemas del tipo III
Problemas del tipo IV
Ejercicios propuestos

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1.1 Introducción.
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar
una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el
cálculo deerrores al efectuar mediciones (valor real menos valor aproximado) o
simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable
independiente varía "un poco". Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación
lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta
DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos ELDIFERENCIAL de la función en el punto.

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1.2 Definición y Ejemplos.
Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta
tangente.
f (x)

RT (x)

f
 RT

PT = (xo , f(xo))

xo

xo + h

Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en
las cercanías del punto de tangencia PT, si lellamamos f  f ( xo  h)  f ( xo ) a la
variación de f cuando x varía de xo a xo + h y RT a la variación de la recta tangente en el
mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas
dos variaciones son muy parecidas, es decir, f  RT .
Podemos expresar a RT en términos de h y el ángulo  que forma la recta tangente con el
eje de las abscisas. En eltriángulo de la figura, que extraemos a continuación, se observa lo
siguiente:

RT

h

tan 

RT
h



RT  (tan )h

 RT  f ' ( xo )h

En virtud de que RT es un aproximador de la DIFERENCIA f, lo definiremos como EL
DIFERENCIAL DE f en el punto xo, con respecto al incremento h y lo denotaremos por
df, es decir,

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df = f '(xo)h
Observación: El diferencial, engeneral depende de h y del punto xo. Por ejemplo el
diferencial de f(x) = x2 es:
df = f ' (xo)h = (2xo)h
que también lo podemos expresar como:
d(x2) = (2xo)h
Si especificamos el punto xo, el diferencial dependerá únicamente de h, como se aprecia en
los siguientes ejemplos:
a) El diferencial de f(x) = x2 en xo =3 es d(x2) = 6h
b) El diferencial de f(x) = x2 en xo =7 es d(x2) = 14h
c) Eldiferencial de f(x) = x3 en xo =2 es d(x3) = 12h
En el caso de la función identidad f(x) = x, como f '(xo) = 1 para todo xo, su diferencial nos
queda como df = f '(xo)h = h o bien dx = h
Como h es el diferencial de la función identidad, podemos re-escribir el diferencial de una
función f derivable en xo, de la siguiente manera:

df = f '(xo)dx
Esta expresión nos dice que la variación de unafunción f es aproximadamente
proporcional a la variación de su variable independiente, donde la constante de
proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión.
En los siguientes ejemplos estimaremos la variación f para xo y h dados y la
compararemos con el diferencial.
Ejemplo . Verifique que:
a) Para f(x) = x2 se cumple que f  df

en xo = 1 y h = 0.1

Solución:
f = f(1.1) -f(1) = 1.21 - 1 = 0.21
df = f ' (1)dx =(2x|x=1 )(0.1) = (2)(0.1) = 0.20
La variación real difiere de la aproximada en una centésima.

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Observación: El punto xo + h es un punto cercano a xo, que se encuentra a la derecha de
éste si h es positivo y a la izquierda si h es negativo. En el siguiente ejemplo
consideraremos un incremento negativo.
b) Para f(x) = x2 se cumple que f  df

enxo = 1 y h = -0.1

Solución:
f = f(0.9) - f(1) = 0.81 - 1 = -0.19
df = f ' (1)dx =(2x|x=1 )(-0.1) = (2)(-0.1) = -0.20
La variación real difiere de la aproximada en una centésima..
c) Para f(x) = x2 se cumple que f  df en xo = 2 y h = 0.006
Solución:
f = f(2.006) - f(2) = 4.024036 - 4 = 0.02403
df = f ' (2)dx =(2x|x=2 )(0.006) = (4)(0.006) = 0.02400
La variación real difiere de la...