LIMITES

LÍMITES.
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) & está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.



No podemos calcular  porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que seacerquen a -2.
Sin embargo si podemos calcular, aunque 3 no pertenezca al dominio, D=  − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Límite de funciones polinómicas en el infinito
El límite cuando x  ∞ de una función polinómicas es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.



Límite de una sucesión
La sucesión para converge alvalor 0, como se puede ver en la ilustración.
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto, si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a .
Formalmente, se dice que la sucesión tiendehasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como:
Si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural mayor que converjan a cuando crezca sin cota.
Límite de una función
En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a lade límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función.
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:
Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de ctal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.
"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
Límites laterales
Además del límite ordinario en el sentido anterior esposible definir para funciones de una variable los límites unilaterales por la derecha y por la izquierda. El límite por la derecha (cuando existe) es el límite de la sucesión:
Análogamente el límite por la izquierda (cuando existe) es:
Para una función continua en c se tiene que.

CONTINUIDADES.
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntoscercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología y del análisis real. El artículodescribe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Funciones reales de una variable real
Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos",como en la figura de la derecha.
Continuidad de una función en un punto

Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto X0 en el dominio de la función
Si: tal que para toda x en el dominio de la función:

Otra manera más simple: Si x0 es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en x0 si y sólo sí . Cuando x0 no es de acumulación del...