limites

Limites de funciones algebraicas.



Limites por definición.

Si f(x) puede aproximarse arbitrariamente a un número finito L, tomando a x suficientemente cercano pero distinto del número c, tanto por el lado izquierdo como por el lado derecho de c, Esto se escribe:


Se usará la notación xc- para denotar que x tiende a c por la izquierda y xc+ para expresar que x tiende a c por laderecha. De este modo si los limites unilaterales:
y Tienen un valor común L
=
Se dice entonces que existe y se escribe

Ejemplo:
Dibujemos la gráfica dada por f(x)= -x2+ 2x+2, y varios puntos cercano a x=4.
Para obtener una idea del comportamiento de la gráfica f cerca de x =4, podemos usar dos conjuntos de valores de x, uno que se aproxime a 4 por la izquierda y otro que lo haga porla derecha, hagamos una tabla de dichos valores.

X tiende a 4 por la izquierda X tiende a 4 por la derecha
x
3.99
3.99
3.999
4.00
4.001
4.01
4.1
F(x)
-5.4100
-5.9401
-5.9940
?
-6.0060
-6.0601
-6.6100
f(x) tiende a –6 f(x) tiende a –6

La gráfica es una parábola. X no puede serigual a 4, pero podemos acercarnos arbitrariamente a su valor por la izquierda y por la derecha y, como resultado obtenemos que f(x) se acerca arbitrariamente a –6, esto se escribe
. Esto se lee “limite de f(x) cuando x tiende a 4 es –6

Limites por sustitución de teoremas.

     Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definiciónEpsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
1) Teorema de límite: Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces


2) Teorema de límite: Para cualquier número dado a;


3) Teorema de límite: Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces


 4) Teorema de límite:


5) Teorema de límite:


 6)Teorema de límite: Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces


7) Teorema de límite: Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces


8) Teorema de límite:


 Procedimiento para calcular límites.

     Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 seaplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4  implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.
     Cuando al sustituir la a por x en la función nos dala forma indetermidada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.
 
Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que
se aplican en cada paso:Soluciones.
 
1. Solución


 2. Solución:


 3. Solución:





 4. Solución:


 5. Solución:


 6. Solución:
No es posible aplicar directamente el Teorema de limite 7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:


 7. Solución:
No es posibleaplicar directamente el teorema de límite 7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el teorema de límite 7 o el teorema de limite 4(III):


 8. Solución:
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del Teorema de limita 7, nos daría la forma indeterminada 0/0:
Por lo que,...