limites


SUCESIÓN Y LIMITE
En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir las andanzas de una sucesión o una función. La idea es que una sucesión o una función tiene un límite siprogresivamente alcanza un número, que se llama el límite. Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación,integración, y muchas otras cosas.
Límite de una sucesión
Definición
La definición del límite en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x va a . Decimos que lasucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), y escribimos

si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión después de aN están tan cercadel límite a como queramos. Es decir, una sucesión converge si an se acerca a a cuando n crece sin cota. Más precisamente,
:

Sucesión monótona creciente
Una sucesión es monótona creciente si secumple que para todo n natural an = an).
Ejemplo:
an = 1/n es monótona decreciente.
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

Convergencia y divergencia
Cuando una sucesión tiene límite finitoa se dice que es convergente y converge a a.
Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.
La sucesión an = 1/n converge a 0.La sucesión an = n2 es divergente.
La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.



Sucesión acotada
M es cota superior de la sucesión an si an < M para todo n.
mes cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.
Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.
Teorema
Toda sucesión monótona y acotada converge.
H) an monótona    Existen m y M / m < an < M para todo n.
T) lim an = b
Teorema
Toda sucesión convergente es acotada.
H) an convergente
T) an acotada
Límite de una función
Definición
Informalmente, decimos...