Limites

Límite y derivada de funciones Reales.

Limites:

Límite de una función en un punto
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Los valores de x a considerar han de pertenecer al dominio de definición , D de la función. También es necesario que en D haya puntos tan próximos a a como queramos, es decir, que a sea un punto de acumulación de D.
Explicación dinámica del concepto de punto de acumulación
Puntos tanpróximos como queramos significa que cualquiera que sea la distancia que consideremos, por muy pequeña que sea, existen puntos del dominio de definición de la función, que no coincidan con "a", a una distancia de "a" menor que la considerada.
El límite depende únicamente del comportamiento de la función en las proximidades de a, no de cual sea el valor de la función en el punto a ; de hecho, apuede no pertenecer al dominio de definición de la función. Sí es necesario, que "a" sea punto de acumulación del dominio de definición de la función.

Ejemplo: Una función típica en análisis es:
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Esta función no está definida en el punto x=1 . Para este valor de x, el denominador de la función es 0 , y no tiene sentido en matemáticas dividir por 0. El valor al que esta función seaproxima, cuando x tiende a 1 por la izquierda o por la derecha, es 2. Luego la función tiene límite cuando x se aproxima a 1 ; el límite es 2. Escribimos:
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Límites laterales:
El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a . Lo representamos por :
[pic]El límite lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a . Lo representamos por :
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Ejemplo:
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Límite de una función en el infinito.

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Ejemplo :
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Propiedades de los límites:

Límite de una constante

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Límite de una suma

[pic]Límite de un producto

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Límite de un cociente

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Límite de una potencia

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Límite de una función

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g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

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Límite de un logaritmo

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Casos diversos de Límites:

Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces:
[pic]En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende.
No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite .Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito.
Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:
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En cada caso, el límite en el punto en que la función no está determinada, dependerá de los valores que la función tome, en las proximidades de dichopunto.
Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones. Los métodos que se indican sirven de guía en casos parecidos.
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La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0. Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la función, existe algún factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo : x -valor para el que queremos calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del denominador, se obtiene otra función , que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestión.
En este caso concreto, el punto es : x = 1.
La nueva función permite obtener los valores en las proximidades del punto de la indeterminación, que son los que permiten...