limites

 Límite
Es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto delímite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto, siexiste, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a .
Formalmente, se dice que la sucesión tiende hasta su límite, o que converge o es convergente (a), y se denota como:


Ejemplo:


Límite de una función
Es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones. Una función f tiene unlímite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c. Si la función tiene límite en podemos decir de manera informal que la función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendodistinto de .
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función.
Hay casos como por ejemplo la función de Dirichletdefinida como:

Donde no existe un número c para el cual exista. Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.
Límites laterales


El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.
De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores másgrandes que éste (derecha):

O tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

Entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Teorema de Rolle
es una función continua definida en un intervalo cerrado
esderivable sobre el intervalo abierto

Entonces: existe al menos un punto perteneciente al intervalo tal que.
Si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.
La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos diceque hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
Teorema del valor medio o de Lagrange
El teorema de valor medio, también llamado teorema de los incrementos finitos o teorema de Bonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo
Sea f(x) una función que satisface lo siguiente:
1. f(x) es una función continua en el intervalo [a,b]
2. f(x) esuna funcion diferenciable en [a,b]
Entonces hay un número "c" en el intervalo [a,b] tal que

toma valores iguales en los extremos del intervalo – en otras palabras, f(a) = f(b) – entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f'(c) = 0.

Teorema del valor intermedio (teorema de los valores intermedios, o TVI),
Es...