Limites

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA E INFORMATICA
CAPITULO LIMITES Y CONTINUIDAD
INTRODUCCION.- El concepto de límite de una función, es el punto de partida
para el estudio del cálculo diferencial e integral. Se debe comprender correctamente
lo que es un límite, por que dicho concepto es fundamental para entender lo que es la
derivada de una función.Pues la derivada es un límite y la integral también es un
límite.
1.1 VECINDAD DE UN PUNTO.- Sea x0  R, se denomina vecindad abierta o bola
abierta de centro x0 y radio   0 y lo denotamos por: B( x0 ,  ), al intervalo:
 x0   , x0   

Luego: B( x0 ,  )   x0   , x0   
x0  

x0  

x0

En la figura se observa que x0 es punto medio del intervalo.
1
3

1
3Ejemplo: Para x0  2, son vecindades de 2 los intervalos:  2  ,2   y
1
1
 2  ,2  
4
4

1.2 PROPIEDADES.1ª) B( x0 ,  )  x  R / x  x0   
2ª) La intersección de dos vecindades de x0 B( x0 ,  1) y B( x0 ,  2 ) es una vecindad de
x 0 B( x0 ,  ) , esto es B( x0 ,  )  B( x0 ,  1)  B( x0 ,  2 ) , donde   mín 1,  2 .
1.3 LIMITE DE UNA FUNCION.- Uno de los conceptosbásicos y fundamentales en
el cálculo es el concepto de límite. Este concepto es muy importante para precisar
otros, tales como: continuidad, derivación, integración, etc.
Definición.- Sea f : R  R una función definida en cada número de algún intervalo
abierto I  a, b  que contiene a a , excepto posiblemente en el número a mismo. El
límite de f (x) conforme x se aproxima a a es L, lo que seescribe como Lím  L ,
x a

cuando:
  o,   0 / x  Dof , x  a y a    x  a    f ( x)  L   …. (1).

En términos del valor absoluto esta definición tiene la forma:
  o,   0 / x  Dof , 0  x  a    f ( x)  L  

Usando vecindades la definición es equivalente a:

  o,   0 / x  B(a,  )  Dof , x  a  f ( x)  B(a,  )

1

Aclaración para el uso deésta definición:
1º) Las letras griegas  y  representan números positivos pequeños que se acercan
al cero.
Por lo general se escoge: 0    1 y " " se expresa en función de " " .
2º) Las desigualdades f ( x)  L   y x  a   , representan intervalos abiertos.
Por la propiedad: a  b  b  a  b, Si b  0 se tiene:
i) f ( x)  L      f ( x)  L    L    f ( x)    L
f ( x)  L   , L   

ii) x  a      x  a    a    x    a
 x  a   , a   

3º) El intervalo  L   , L    se llama vecindad o entorno de L, de centro L y
radio   0 .
El intervalo  a   a    se llama vecindad o entorno de a, de centro a y radio
  0.
Recomendaciones para el estudiante.- Al estudiar el límite de una función, deberá
tenerse en cuentalo siguiente:
1º) Cuando se trata de calcular límites, que es un valor numérico, el estudiante
deberá usar correctamente tanto el ALGEBRA ELEMENTAL como la
TRIGONOMETRÍA, sobre todo lo concerniente a: factorización,
racionalización y las identidades trigonométricas.
2º) En cambio, si se pide demostrar la existencia del límite de una función,
entonces acudiremos al ANALISIS, haciendo uso delas definiciones y
teoremas correctamente.
1.4 APLICACIONES DE LA DEFINICION DE LÍMITE DE UNA FUNCION
REAL DE VARIABLE REAL:
I. Demostrar que las siguientes igualdades se cumplen.
1) Lím (2 x  1 / 5)  6 / 5
2) Lím(2 x²  3x  1)  10
3) Lím(1  x² / 2)  1
x 1 / 2

x 3

4) Lím( x  x²  2 x)  140

x 0

6) Lím(1  x) 3  1 .

5) Lím( x²  3x  5)  9

3

x 5

x 0x 4

II. Límites de funciones que contienen raíz cuadrada.- Cuando se trata de acotar
funciones con raíz cuadrada, necesariamente se trabaja con el dominio de la función
raíz cuadrada.
Ejemplos: Demostrar los siguientes límites:
1) Lím 1  x  0
2) Lím(5  5x )  10
3) Lím 4  x²  3
x 1

4) Lím
x 4

x 5

1
1

x 2 4

x 1

5) L´m 3 x  3 a
x a

6) Lím
x a...