Limites

LÍMITES

4.1 NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

Es necesario analizar el comportamiento de una función f (x), cuando los valores de la variable independiente “x” se hace muy cercana a un número específico llamado x0.

Ejemplo: Sea la función f: R R, cuya correspondencia es.

Sí f(x) = x0 = 2

Analizar el comportamiento de la función cuando la variableindependiente “x” se aproxima cada vez más al número 2.

Formalizando se tiene: ( 3x + 1)

x- x

x 2 x
X | 1.85 | 1.9 | 1.999 | 2 | 2.001 | 2.1 | 2.15 |
F(x) | 6.55 | 6.7 | 6.997 | 7¿.? | 7.003 | 7.3 | 7.45 |En el ejemplo, se puede observar, que hay valores de x que son un poco menores y otros un poco mayores que 2, y sus correspondientes valores funcionales. Observe que

Cuando “x” se aproxima por la izquierda ( x< 2) o por la derecha ( x> 2) los valores correspondientes de f (x) se acercan cada vez más a un solo número, el 7.

Para expresar esto, decimos que el límite de f(x) cuando“x” se aproxima a 2 es 7 y escribimos:

3x + 1 = 3(2) + 1 = 7


f(x) =7



4.2 DEFINICIÓN DE LÍMITE:


Lim f(x) = L 0, 0 / 0 I x - x₀ I < | f (x) – L | < Є
x0

Para el ejemplo anterior, tenemos:

Limf(x) = 7 0, 0 / 0 I x - 2 I < I f (x) - 7| < Є
x→2

lim 3x + 1 = 7
x2

4.3. INTERPRETACIÓN GEOMETRICA.

f(x) = y = 3 x + 1
y
y = 7+ ……………………………..L = 7 …………….

y = 7- …..
⁰
Fig. 2 - 1

0
x=2 xX = 2 – X = 2 +

4.4 PROPIEDADES.

Sean f ^ g dos funciones tales que:

a) Lim = lim f (x) lim g (x) = L + M
x x x

f ( x ) = L g ( x ) = M

b) Lim K = K K = constante
x →a

c) k f ( x ) = k f ( x )

d)

e) = , n

f)

Ejemplos:

1. Calcular: Limx → -1

Solución

lim () + lim (3x - 4) = +
= +
x-1 x-1 = 7 + - 7
= 0

Método práctico: Aplicando valor numérico para x = - 1

Lim = lim (
x-1 x-1

= (- + 6 + 3 (-1) – 4
= 1 + 6 + - 3– 4
= 0

Ejemplos. Forma indeterminada 0
0
1. Calcular:

Lim
x→2

Solución

Aplicando valor numérico, para x = 2

= = indeterminada
X2

Factorizando para levantar la indeterminación:

2 = = 2 x + 1
2x +1
1x -2

Luego: lim (2 x+ 1) = 2(2) +1 = 5

x→ 2

2. Calcular
Lim
x→4

Solución

Aplicando valor numérico para x = 4

= = indeterminado


Factorizando para levantar la indeterminación

3
3x -5 4 x2 – 25x + 36 = ( 4x – 9 ) ( x- 4)
x - 4...