limites

Año académico: 2006-2007 I.E.S. “La Ería”
Departamento Didáctico de Matemáticas
Nivel: Bach. CCSS
Complementos teórico-prácticos. Tema: Límites de sucesiones y funciones.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y pro-fesor agregado de Matemáticas en E.S.

Teoría de Límites.


 Sucesiones: una sucesión numérica no es más que una lista, oserie, ordenada de números reales.
 Ordenada, ya que si los números no ocupan una posición bien determinada, como las cifras que hay dentro del bombo de un sorteo de lotería, no forman una serie, es en el momento de su extracción ordenada cuando configuran la serie de extracción, de modo que cada cifra sale una o varias veces, paro cada vez en una posición distinta.
 El valor de los números enla serie puede o no depender de la posición en la que éstos se encuentran, de ahí que puede haber series aleatorias, sin nin¬guna relación en cuanto al orden y valor de los números, y series que siguen una ley o criterio de formación.
 Término de una serie es cada uno de los elementos que la componen y consta de dos partes bien diferenciadas:
 Orden del término, que nos indica qué posiciónocupa dentro de la suce-sión el número en cuestión, así el primero, el segundo, ....., el vigésimo, etc. ...
 Valor del término, es el valor numérico asociado al mismo.
 Notación: para referirnos a un término de la sucesión lo haremos poniendo , donde n indica el orden o posición del término, a es el nombre genérico del térmi¬no, y b es el valor numérico del término.
 Terminología: para nombrartérminos de una sucesión utilizaremos letras minúsculas, a, b, c, etc. .... junto con un subíndice, un número, que nos indica la posición dentro de la serie. Cuando nos refiramos a una posición genérica utilizaremos una letra minúscula n, k, i, j, etc. ...
 Ejemplo: nos dice que el término séptimo de la serie tiene el valor numérico asociado de treinta y siete cuartos.
 Término general: esla forma en la que nos referiremos a un término cual-quiera de la sucesión, se suele indicar por etc. ..
 Términos equidistantes de los extremos: son aquellos que se encuentran a igual distancia del primero y del último, por ejemplo:
 , son equidistantes el 6 y el 18 y el 10 y el 14.
 Si nos fijamos en el orden, el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepe-núltimo, en general el yel , es decir , etc. ...


 Clases de sucesión:
 Limitadas, cuando constan de un número finito de términos, 10, 12, 40, etc.

 Ilimitadas, cuando el número de términos es infinito.

 Acotadas superiormente: una sucesión está acotada superiormente si existe un número real M,, igual o mayor que todos los elementos de la suce-sión.

• Ejemplo: , acotada superiormente por 1e inferiormente por 0.
 Acotadas inferiormente: una sucesión está acotada inferiormente si existe un número real m,, igual o menor que todos los elementos de la suce¬sión.

• Ejemplo: acotada superiormente por 0,5 e inferiormente por 0.
 Acotadas: cuando lo está superior e inferiormente.
 Positivas: una sucesión se define positiva si .
 Ejemplo: , desarróllala y compruébalo. Negativas: una sucesión se define negativa si
 Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.
 Alternantes: una sucesión se dice alternante cuando el signo de sus términos se va alternando entre positivo y negativo.
 Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.
 Monotonía:
 Monótonas crecientes: una sucesión es creciente si cada término de la misma es igual o mayor que el inmediatamenteanterior al mismo.

 Monótonas estrictamente crecientes: una sucesión es estricta-mente creciente si cada término de la misma es mayor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual).

• Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.
 Monótonas decrecientes: una sucesión es decreciente si cada térmi-no de la misma es igual o menor que el inmediatamente...