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UNIDAD UNO
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

1.3.3 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La idea intuitiva de continuidad de una función tiene que ver con poder dibujar la gráfica de dichafunción de un solo trazo. Esto es, decimos que una función es continua si su gráfica no presenta “huecos” ni saltos. La figura muestra la gráfica de la función f definida por

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Comopuede observarse, la función f no es continua, ya que su gráfica presenta un “hueco” en , debido a que la función no está definida para dicho valor. La figura muestra la gráfica de la función g definidapor

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3
 
 




1

Politécnico

2










4



































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Grancolombiano-en

La función g no es continua porque presenta un salto. Nótese que entre 2 y 4 lafunción no está definida. Veamos ahora la definición formal de continuidad de una función en un punto. Definición: Formalmente, una función f es continua en x = a, si se cumplen todas y cada una de lassiguientes condiciones: (i) (ii) (iii) f ( a ) está definida existe =f(a)

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En caso de que no se cumpla por lo menos una de estas condiciones, la función se diceque es discontinua Apliquemos ahora la definición de continuidad para saber si una función dada es o no continua en un punto determinado.

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EJEMPLO 1
Sea la función f definidapor en Verificamos las tres condiciones: 2 . Determinar si f es continua

i)

Como definida para ,

, la función f no está

Luego, f no es continua en

Las condiciones ii) y iii) no hacefalta verificarlas porque ya no se tiene en este caso, la condición i)

EJEMPLO 2
Determinar si la función h definida por h ( x continua en Veamos: i)
€

)

x+ 3 ; x≥2 =  2 x +1 ; x 1University

€

b. Trazar un bosquejo de la gráfica de h 3− x ; x ≥ 3  c. T ( x ) =  x − 2 ; x ∈ ( 0 , 3 ) en el punto   x −1 ; x ∈ ( − ∞, 0 ) d. Trazar un bosquejo de la gráfica de T

y en el...