Limites


Unidad de Aprendizaje N° 1: Límite y continuidad de funciones de una variable real.
Aprendizajes Esperados
Resuelve problemas de límites y comportamiento gráfico a partir de la teoría de límites y el empleo de sus teoremas, integrando diversas variables, a través de soluciones de ejercicios y problemas.





















Límites de funciones:
NOCIÓN INTUITIVADE LÍMITE.
Situación 1. Considera un resorte colgado por uno de sus extremos en una barra y con un peso p en el otro extremo. Se sabe que el resorte se rompe si el peso p es igual o mayor que 5 kilos. Supongamos que deseamos determinar la longitud máxima l que se estira el resorte sin romperse. Para resolver esta cuestión realizaremos el experimento de cambiar el peso p colocado en el extremolibre del resorte de manera creciente y medir la longitud l que se estira con cada peso, como se observa en la figura.

Cuando el peso colocado en el resorte se acerca a los 5 kilos, tendremos que colocar pesos cada vez más pequeños para no llegar al máximo de los 5 kilos y que no se rompa el resorte. Registrando las longitudes sucesivas delresorte, debemos de poder determinar la longitud máxima L a la cual se aproxima l cuando el peso p se aproxima a su valor máximo de 5 kilos. Simbólicamente escribimos: l → L, cuando p → 5
Situación 2. Considera la función , ¿Qué ocurre con cuando x se acerca a 3?
Recuerda:
Acercarse a un valor, esto se hace desde la izquierda y desde derecha, es decir:

Desde laizquierda desde la derecha




Si los valores que toma la variable “x”, se acercan a 3 por la derecha, se observa que los valores de “f(x)” se acercan a 7. Del mismo modo si “x” se acerca a 3 por la izquierda, los valores de “f(x)” se acercan también a 7.

La respuesta a la pregunta es: f(x) se acerca a 7 cuando x se acerca a 3. Esto se expresadiciendo que el límite de f(x) es 7 cuando x se acerca a 3




Lo anterior se refuerza con la siguiente tabla de valores para la función
Situación 3 Se tiene la función ¿A qué valor se aproxima :
a) cuando x e acerca a 3 (completa las tablas, usa calculadora)
X se acerca a 3 desde la izquierda
X
2,80
2,88
2,91
2,92
2.93
2,94
2,95
2,98
2,99
f(x)X se acerca a 3 desde la derecha
X
3,01
3,02
3,03
3,04
3.05
3,06
3,07
3,08
3,1
f(x)










Podemos observar que f(x) se aproxima a 2 desde la izquierda y desde la derecha, lo que se expresa diciendo que el límite de f(x) es 2 cuando x se acerca a 3. Sin embargo este resultado se puede obtener reemplazando directamente en la función el valor al cual se acerca x, es decir,para x=3 tenemos


b) Cuando x se acerca a 2 (completa las tablas, usa calculadora)

X se acerca a 2 desde la izquierda
X
1,8
1,81
1,85
1,87
1,89
1,93
1,95
1,97
1,99
f(x)











X se acerca a 2 desde la derecha
X
2,01
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,1
f(x)










Podemos observar que f(x) se aproxima a 1 desde laizquierda y desde la derecha, lo que se expresa diciendo: que el límite de f(x) es 1 cuando x se acerca a 2
Lo anterior se puede expresar diciendo:
“El límite de la función f(x) es 1 cuando x tiende a 2”.
También podemos escribir (Se lee: f(x) tiende a 1 cuando x tiende a 2).
(esto se lee: “El límite cuando x tiende a 2 de f(x) es 1)
Pero si queremos reemplazar el valor de xdirectamente en la función (como el caso anterior), esto no es posible, no podemos obtener un valor para f(x) cuando x = 2, la función no está definida para el valor 2, observa:

El resultado se conoce como indeterminado, para salvar la indeterminación en expresiones racionales aplicaremos teoremas de límites de funciones junto con algebra básica.

Recuerda los siguientes teoremas:
1)...