limites

Límite de una función en un punto:
de la intuición a la definición formal
x 3 2x
. Su dominio es D(f) = R – {0}.
x

Sea f ( x )

Sus valores en las proximidades de x = 0:
x –1 –0,5 –0,01 –0,001 0
0,001
f(x) 3 2,25 2,0001 2,000001

0,01 0,5 1
2,000001 2,0001 2,25 3

3,5

Intuitivamente: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es 2,
ya que para valores de x próximos a 0 loscorrespondientes
valores de f(x) se aproximan a 2.

3
2,5

También: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es 2, ya que
para valores de x próximos a 0 los correspondientes valores de
f(x) están tan próximos como queramos a 2.

2
1,5
1
0,5
0
-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Definición precisa: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es
2, ya que para cualquier distancia ε, tanpequeña como
queramos, hay una distancia δ tal que: para cualquier valor de
x que esté a una distancia de 0 menor que δ, su imagen f(x)
está a una distancia de 2 menor que ε.

Límite de una función en un punto: definición formal
Sean a y L dos números reales. Una función f(x) tiene
límite L en el punto x = a si para todo número real ε > 0
existe otro número real δ > 0, tal que
si 0 < |x – a | < δ
| f(x) – L | < ε

Para cada ε > 0

Hay un δ > 0

0 0
L= 0 si L< 0

Es importante recordar que estas reglas no definen operaciones entre
números, ya que el infinito no es un número; las expresiones anteriores
deben ser interpretadas en términos de límites de funciones.

Indeterminaciones: tipos
Cuando podemos calcular el límite de la operación de dos o más funciones, aunsin
conocerlas, decimos que el límite es determinado. Aplicando los teoremas anteriores
podemos obtener el límite buscado. En caso de que no podamos aplicar ningún teorema que
nos permita calcular el límite, diremos que es indeterminado.

lim f(x) = 2

lim f(x) = 0

lim g(x) = 3

lim g(x) = 0

f(x) 2
Entonces lim
=
x a g(x) 3

f(x)
No es posible obtener lim
. Para
x a g(x)x a

x a

x a

x a

poder salvar la indeterminación hemos
de conocer f y g.
Este resultado no depende de las funciones f
y g. El límite es determinado.

Tipos de
indeterminaciones

L
0/L

0

0
0

Este límite depende de las funciones f y g. El
límite es indeterminado.

0.

–

0

00

1

Cálculo de indeterminaciones: tipo L/0, con L

0

En estos casos ellímite si existe es + o – dependiendo del signo de la función
a izquierda y derecha del valor al cual tiende la variable.

1
=–
–x – 2
x 2
lim

1
=+
+x – 2
x 2
lim

1
2=+
– (x – 2)
x 2

1
lim x – 2 no existe
x 2

lim

1
=+
(x – 2)2
x 2
lim

1
2=+
+ (x – 2)
x 2
lim

Cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0

Cuando el lim

x a

P(x)
0
es indeterminado siendoP(x) y Q(x) polinomios, pod eQ(x)
0

mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por x– a.

(x – 3)2(x – 2)
(x – 3)(x – 2) 0
–18 + 21x – 8x2 + x3
lim
= lim (x – 3)(x + 3) = lim (x + 3) = 6 = 0
x2 – 9
x 3
x 3
x 3
0
Indet 0

–18 + 33 x – 20 x2 + 4 x3
–1
(x – 2)(2x – 3)2
lim
= lim
2
= lim (x – 2) = 2
2
9 – 12 x + 4 x
3
3 (2x – 3)
3
x

2

0
Indet 0

x

2x

2

Cálculo de indeterminaciones: tipo 0

.

Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente para

0
obtener una expresión más sencilla o reduciéndolas a otras del tipo
0o
Recordando que lim
x

xpe–x = 0

lim x3e–x + 5 lim x2e–x + 7 lim xe–x =
lim (x + 5x + 7x)e =
3

2

–x

x

x

Indet 0 .

= 0+5.0+7.0=0

ln x
lim
Recordando que X
x =0ln x lim – ln y = 0
lim +x ln x = lim + 1 = y
y
x 0
x 0
x
Indet 0 .
1/x = y
.

x

x

Cálculo de indeterminaciones: tipo

Cuando el lim
x

P(x)
es indeterminado
Q(x)

/

siendo P(x) y Q(x) polinomios,

podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia más
alta de x que aparezca en ambos.

lim
x

–2x3 + 3x – 5
–x3 – 2x + 5 =

Indet

lim
x...