LImites

Funciones de variable real[editar]

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.

Los conceptos cerca ysuficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo \varepsilon > 0 \; existe un \delta > 0 \; tal que para todo número real x en el dominio de la función 0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon.

Esto,escrito en notación formal:


\begin{array}{l}
\underset {x\to c}{\lim} \, \,f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 / \forall x \in \operatorname{Dom}(f), 0 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

si 0 < \left| x - c \right| < \delta , entonces \left| f\left(x\right) - L \right| < \epsilon

De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:

xpertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ).
x no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x distinto de c.
La solución de | f(x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).
Esto proporciona la clave de comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de x está en la vecindad horizontal alrededor del punto c y agujereada en c con radio delta y centro c, aun cuandoen ese punto c no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

Unicidad del límite[editar]
Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.4

Supóngase que \textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L y también que \textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L' siendo L y L'distintos; se debe de comprobar que no puede ser que L'\neq L verificándose la definición de límite. Para ello se toma un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite f(x)\in E para todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

Propiedades de los límites[editar]
Propiedades generales[editar]Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

Límite de Expresión
Una constante \lim_{x \to c} k =\, k,\, donde\, k\in \R \,
La función identidad \lim_{x \to c} x = \, c \,
El producto de una función y una constante \lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,
Una suma \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \toc} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,
Una resta \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,
Un producto \lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,
Un cociente \lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,
Una potencia {\lim_{x \to c}f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0
Un logaritmo {\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}
El número e {\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal {\lim_{x \to c} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0.Indeterminaciones[editar]
Véase también: Forma indeterminada
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere \infty \,\! como el límite que tiende a infinito y 0 \,\! al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación Indeterminación
Sustracción \infty - \infty
Multiplicación \infty \cdot 0
División \cfrac{\infty}{\infty}, \cfrac{0}{0}
Elevación a potencia 1^\infty, \infty...