Limites

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Límites
0 ∞ 1∞ ∞ − ∞ 0 ⋅ ∞ 0 ∞ No indeterminaciones ∞
0

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Límites
0 0

Indeteminaciones:

00Indeterminación
Polinomios: Factorizar / Simplificar / Sustituir

Indeterminación ∞ ∞
Paso Uno: Buscar el Mayor Exponente

0+0 = 0 0à0 = 0 0á0 = 0 a+0 =a

a =∞ 0

0 =0 a

a =0 ∞

a >1 a= ∞ donde ∞ = ∞ a0 = 1 ∞ a a = 0 donde 0 < a < 1
∞ a = ∞ donde a > 0 ∞ a = 0 donde a < 0

∞

Radicales: Racionalizar / Factorizar / Simplificar / Sustituir

aà0 =a
∞ +∞ = ∞

1a = 1 a1 = a0a = 0 a 0 = 1 0∞ = 0
∞ 0
0 ∞

(a à b ) (a + b ) = a 2 à b2 (a à b) (a 2 + ab + b2) = a3 à b3 (a + b) (a 2 à ab + b2) = a3 + b3

x2 + x + 1 → ME = x2 x + ln x → ME = x a + ln x → ME = ln x

0àa= àa

0áa = 0

=∞
=0

∞

à∞

=0
x →a

Definición de Límite

∞ á∞ =∞

a +∞ =∞ ∞ àa =∞
a à∞ = à∞

log 0 = à ∞ log 1 = 0 log ∞ = ∞

sen0 = 0 cos0 = 1 tan0 = 0

∞∞ = ∞

Lim f(x ) = L ; Si ∀ ï > 0 existe î > 0
Tal que |f(x) à L | < ï siempre que 0 < |x à a| < î

(a à b) (a 4 + a3b + a 2b2 + ab3 + b4 ) = a 5 à b5 ð ñ (a à b) a 6 + a5b + a 4b2 + a3b3 + a2 b4 + ab5 + b6 =a7 à b7

(a + b) (a 4 à a3b + a 2b2 à ab3 + b4 ) = a 5 + b5

x + sen x → ME = x
0, 5x + x → ME = x

ln x + sen x → ME = ln x

xn + 5x + 8x → ME = 8x

(a + b)

ð

a 6 à a 5 b + a 4b2 à a3 b3 + a2 b à ab5 + b6 = a 7 + b7

4

Exponenciales
ex à 1 x

ñ

0, 7x + ln x → ME = ln x
3

Definición de Límite al Infinito
L→∞

∞ áa = ∞

csc0 = ∞ x→∞ sec0 = 1 x→∞ cot0 = ∞ L→∞Teoremas

|f (x )| > M siempre que |x à a| < î |f (x ) à L| < ε siempre que |x | > M

lim
x→ 0

=1

lim
x→0

ax à 1 x

= ln a

x2 + x + 1→ ME = x3
√
1 √ √ x + 3 x+ 5 x→ ME = x2

2|f (x)| > M siempre que | x| < P

Logaritmos
x→a

lim c = c
x→ a

El límite de una constante es la misma constante
x→a

lim ln [F (x)] = lim [F (x) à 1]
x→a

( xn + a )

m

m → ME...