Limites

Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7

LÍMITE EN UN PUNTO
LÍMITES LATERALES
TEOREMAS SOBRE LÍMITES
CÁLCULO DE LÍMITES
LÍMITES AL INFINITO
LÍMITES INFINITOS
OTROS LÍMITES

OBJETIVOS:
•
•
•
•

Definir Límites.
Realizar demostraciones formales de límites.
Describir gráficamente los límites.
Calcular límites.

1

Cap. 1Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1.1 LÍMITE EN UN PUNTO
El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este
tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, la derivada y la integral
definida son conceptos basados en límites. Conceptualizar límite determinando
el comportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará
bastante en el inicio delanálisis de los límites.

1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA
Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto
singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra
intención y el estudio de los límites va a permitir esto.
Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple
inspección concluir y tener una idea del concepto de límite.Ejemplo 1
Veamos como se comporta la función
la cercanía de x = 2 .

f con regla de correspondencia f ( x) = 2 x + 1 en

Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :

x

y = 2x +1

1.90

4.80

1.95
1.99

4.90
4.98

2.01

5.02

2.05

5.10

2.10

5.20

En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender quetomamos a la x
aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5.
Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función
se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo
escribiremos de la siguiente forma:
lím (2 x + 1) = 5

x→2

Lo anterior se puedeilustrar desde la gráfica:

2

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Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2
Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia
f ( x) =

x 2 + 5x − 6
, en la cercanía de x = 1 .
x −1

Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:

x
0.90

y=

x2 + 5x − 6
x −1
6.90

0.95

6.95

0.996.99

1.01

7.01

1.05

7.05

1.10

7.10

Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x
x 2 + 5x − 6
=7.
x →1
x −1

se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím

Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.
Por

otro

lado,

la

regla

de

correspondencia

f ( x) =x 2 + 5x − 6
x −1

es

equivalente

a

f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?).
Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica:

De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía,
podemos emitir la siguiente definición:

3

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Moisés Villena Muñoz

Una función f tiene límite L en un punto
x0 , si f se aproxima atomar el valor L
cada vez que su variable independiente x
se aproxima a tomar el valor x0 . Lo que
se denota como:

lím f ( x) = L

x→ x0

Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se
puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo;
es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características
de sucomportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.

1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL
Suponga que se plantea el problema de demostrar que lím 2 x + 1 = 5 o que
x →2

x + 5x − 6
= 7.
x −1
2

lím
x →1

Para

esto,

debemos

garantizar

formalmente

el

acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su
variable independiente se aproxime al valor...