limites

1.1 LÍMITE EN UN PUNTO
El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este
tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, veremos más adelante
que los dos conceptos principales del Calculo, la Derivada y la Integral
Definida, están basados en límites.
Por ahora nos dedicaremos al estudio de los límites. Conceptualizar límites
determinando el comportamientode una función e interpretarlo en su gráfica,
ayudará bastante en el inicio de nuestro estudio.
1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA
Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto
singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra
intención y el estudio de los límites va a permitir esto.
Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamospor simple
inspección concluir y tener una idea del concepto de límite.
Ejemplo 1
Veamos como se comporta la función f con regla de correspondencia f (x) = 2x +1 en
la cercanía de x = 2 .
Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :
En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x
aproximándose a 2 en ambasdirecciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5.
Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función
se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo
escribiremos de la siguiente forma:
lím (2 1) 5 2 + = → x x
Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica, observe lafigura 1.1:
Fig. 1.1Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
3
2 5 6
1
0.90 6.90
0.95 6.95
0.99 6.99
1.01 7.01
1.05 7.05
1.10 7.10
x x x y x
+ − = −
" "
Ejemplo 2
Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia
1
5 6 ( )
2
−
+ − = x
x x f x , en la cercanía de x = 1 .
Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez máspróximos a 1, tenemos:
Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x
se aproxima a tomar el valor de 1, es decir 7
1
5 6 lím
2
1
= −
+ −
→ x
x x
x
.
Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.
Por otro lado, la regla de correspondencia 1
5 6 ( )
2
−
+ − = x
x x f x es equivalente af (x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?).
Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica, observe la figura 1.2:
De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía,
podemos emitir la siguiente definición:
Fig. 1.2Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones
4
Una función f tiene límite L en un punto
0 x , si f se aproxima a tomar el valor L
cadavez que su variable independiente x
se aproxima a tomar el valor 0 x . Lo que
se denota como: 0
lím ( )
x x
f x L
→
=
Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se
puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo;
es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características
de su comportamiento. De ahí lanecesidad del estudio de límite de funciones.
1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL
Suponga que se plantea el problema de demostrar que
2
lím2 1 5
x x → + = o que
2
1
5 6 lím 7
x 1
x x
→ x
+ − = − . Para esto, debemos garantizar formalmente el
acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su
variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valoresno nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se
cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá
en escribir matemáticamente, lenguaje formal, la metodología del proceso, lo
cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo
para estos dos ejemplos, sino para cualquier función.
Antes, de llegar a la...