Limites

GUIA 7: Límites y sus propiedades

Definición: Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a ac y L un número real, se define
limx→afx=L
como f(x) tiene al límite L (f(x)→L),cuando x tiende al valor a (x→a).

Esto significa que para todo ε>0 existe un δ>0, tal que si

0<x-a<δ entonces 0<fx-L<ε

a

a
Propiedades de límites:
a

Sean a, b ϵ R ,f y g don funciones con límites:
limx→af(x)=L y limx→af(x)=K

1.- Múltiplo escalar | limx→abfx=bL |
2.- Adición o sustracción | limx→a fx ± gx=limx→afx ± limx→agx=L± K |
3.-Producto | limx→afx∙gx = limx→afx∙limx→agx = L∙K |
4.- Cociente | limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=LK , gx≠0∧L2≠0 |
5.- Potencias | limx→afxn=Ln , n>0 |

Otrospropiedades importantes de límites:

* Si f es cualquier función polinómica (es decir: lineal, afín, cuadrática, de tercer grado, etc.), entonces:
limx→afx=f(a)

* Limite de una funcióncompuesta: Sean f y g don funciones con límites:
limx→ag(x)=L y limx→Lf(x)=f(L)
entonces,
limx→cf(gx)=f(L)

Limites infinitos:

Existen expresiones algebraicas cuyo valor fx seindetermina para algún x, y no es posible recurrir a operaciones algebraicas para encontrar otra expresión equivalente.

Veamos el ejemplo para fx=3x-2:

limx→2 3x-2

Al reemplazar directamente x=2 en lafunción ésta se indetermina.

La gráfica correspondiente a la f es la siguiente:
Analizando la situación de los valores de f a través de una tabla de valores, se obtienen:

x | 1,5 | 1,9 |1,99 | 1,999 | 2 | 2,001 | 2,01 | 2,1 | 2,5 |
f(x) | -6 | -30 | -300 | -3.000 | ? | 3.000 | 300 | 30 | 6 |

Tanto en la gráfica como en la tabla de valores, se observan dos aspectos importantescuando los valores de x se aproximan a 2:

* Cuando x se aproxima a 2 por la derecha, f(x) crece sin cota.
* Cuando x se aproxima a 2 por la izquierda, f(x) decrece sin cota.

Por lo tanto,...