Limites

Límites (definición formal)
Primero lee la introducción a los límites
Acercándose ...
A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vasacercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función.
Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?
(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0
Pero 0/0 es "indeterminado", lo quesignifica que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:
x | (x2-1)/(x-1) |
0.5 | 1.50000 |
0.9 | 1.90000 |
0.99 | 1.99000 |
0.999 | 1.99900 |0.9999 | 1.99990 |
0.99999 | 1.99999 |
... | ... |
Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:
El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es2
Y con símbolos se escribe:

Más formal
Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos aempezar por la idea general
De español a matemáticas
Vamos a decirlo primero en español:
"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"
Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al quese acerca x, podemos decir
"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"
 

Calculando "cerca"
A ver cuál es una manera matemática de decir "cerca" ... ¿a lo mejor restar un valor de otro?
Ejemplo1: 4.01 - 4 = 0.01
Ejemplo 2: 3.8 - 4 = -0.2
Hmmm... ¿cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido... lo que nos hace falta es "no me importa si es negativo o positivo, sólo quiero saber ladistancia". La solución es usar el valor absoluto.
"Qué tan cerca" = |a-b|
Ejemplo 1: |4.01-4| = 0.01
Ejemplo 2: |3.8-4| = 0.2
Y si |a-b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:"|f(x)-L| es pequeño cuando |x-a| es pequeño"
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| Y esta animación muestra lo que pasa con la funciónf(x) = (x2 - 1) / (x-1) * cuando x se acerca a a=1, * f(x) se acerca a L=2 Así que *...