limites

Guia 1.
L´ımites y continuidad.
1. Demuestre usando la definici´
on, los siguientes l´ımites:
a) l´ım

x→3

2
=1
x−1

x+3
=4
x−3
x
= −1
d ) l´ım 2
x→1 2x − 5x + 2
c) l´ım

x→5b) l´ım(x2 − 1) = 3
2. Hallar δ, para el
a) l´ım

x→4

indicado si:

x+3
7
= , para
2
2

c) l´ım 3x2 − 2x = 8, para
x→2
= 0,01

0,01

=

b) l´ım x2 = 4,para
x→2

= 0,02

3.Calcular los siguientes limites:
(x − 1)2
x→1 (x2 − 1)(x3 − 1)
√
√
x− 4x
√
b) l´ım √
x→1 3 x − 5 x

a) l´ım

x2 − (a − 1)x − a
x→a x2 − (a − 2)x − 2a
√
3
x−1
d ) l´ım √
4
x→1
x−1√
√
x x−a a
√
e) l´ım √
x→a
x− a
c) l´ım

k ) l´ım (2x + 1)(x

x2 + p 2 − p

f ) l´ım

x2 + q 2 − q
√
7+ 3x−3
l´ım
x→8
x−8
sin x
l´ım
x→π x − π
sin x − sin a
l´ım
x→a
x−a√
1 − cos x
l´ım
x→0
x2
x→0

g)
h)
i)
j)

2 +1)/2

x→1

ax − ab
x→b x − a
√
m) l´ım x[ x n − 1]
l ) l´ım

x→∞

1
ln
x→0 x

n) l´ım

n
˜) l´ım

x→e

1+x
1−x

ln x −1
x−e

x2 − mx + 3x − 3m
= m2 − 27
x→m
x−m

4. Determinar el o los valores de m, tales que : l´ım
5. Si f (x) =

√

3
f (x + h) − f (x)
= √
h→0
h
2 3x + 1

3x + 1, verificar quel´ım

(f ◦ g)(x + 1)
x→0 (g ◦ f )(x + 2)

6. Si f (x) = x − 2 y g(x + 1) = x2 − x, determinar : l´ım

7. El n´
umero de individuos, en millones, de una poblaci´on , viene dado por la funci´on P(t) =
donde t se mide en a˜
nos transcurridos desde t) = 0.Calcular:
a) La poblaci´
on inicial
b) El tama˜
no de la poblaci´
on a largo plazo
1

15 + t2
,
(1 + t)2

8. Determinar a y b,para que l´ım f (x) = f (0) y f (1) = 1, donde f (x) =
x→0

bx2 + ab





si x ≥ 0

2(x2 + b)1/2 − b si x < 0

9. Determine
 para que valor (es) de b ∈ R, la funci´on f (x) , escontinua en x0 = 0
 ln(1 − b2 x2 ) + ln(1 + bx)−1
si x < 0
f (x) =
x

2
x − 27
si x ≥ 0
indicando si es remediable, (de ser as´ı redefinala) o irreparable

ax2 + bx + 1 si
x≤1


...