limites

Límite matemático

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medidaque los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir losconceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacioeuclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como puedenser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente deforma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

Límite de una sucesión
La sucesión a_{n} = 2^{(4-n)} para \scriptstyle n \in \mathbb{N}_0converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.
Artículo principal: Límite de una sucesión

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que lostérminos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de n. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando xtiende a \infty.

Formalmente, se dice que la sucesión a_n tiende hasta su límite L, o que converge o es convergente (a L), y se denota como:

\lim_{n\to\infty}a_n = L

si y solo si paratodo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural N tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural n mayor que N converjan a L cuando n crezca sin cota....