limites

Límite en un punto
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y)
cuando los originales(las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes
cuando los originales tienden a x0.
Vamos a estudiar el límitede la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
x

f(x)

1,9

3,61

1,99 3,9601
1,999 3,996001
...

...

↓

↓

2

4

xf(x)

2,1

4.41

2,01 4,0401
2,001 4,004001
...

...

↓

↓

2

4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derechalas imágenes se acercan a 4.
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un
número realpositivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal
que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen lacondición|x − x0| < δ , se
cumple que |f(x) − L| < ε.

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
si y sólo si,para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea
su radio ε, existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0),tienen sus
imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).

Aplicando la definición de límite, probar que:

2Aplicando la definición de límite,probar que:

tiene límite -1 cuando x

0

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3Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos límites.