Limites

INTRODUCCION:

La siguiente monografía la realizo con la finalidad de dar a conocer acerca de los límites, el cual se rige por algún paso que nosotros como estudiantes debemos seguir, o poner en práctica para así tener conocimientos de cada uno de sus puntos.













LIMITES MATEMATICOS:
HISTORIA:
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII,la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.1 Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.2La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fuedada por Weierstrass en los 1850 y 18603 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.2
DEFINICIÓN:
Es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión ofunción se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de lamatemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim (an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.
La función f(x) tiene como límite L en el punto de acumulación x=A cuando el valor absoluto (el módulo) de la diferencia entre los valores f(x) y L se puede hacer tan pequeño como se quiera con talde considerar valores de x suficientemente próximos a A.
Lim f(x)=L
x— A
... si para todo E 0, existe un § 0 tal que /f(x)-L/ E cuando /x-A/ §
Ejemplo:
 hacemos la tabla de valores de la función f(x)= x^2+1.
 x ................f(x)= x^2+1
 2,2..................5,84
 2,1................ .5,41
 2,01................5,04
 2,001..............5,004
 1,9..................4,61 1,99................4,96
 1,999..............4,996

Como podemos ver en el gráfico, a medida que los valores de x se aproximan cada vez más a 2, tanto por la derecha como por la izquierda, los valores que determina la función se aproximan cada vez más al númerp 5. Esto se expresa diciendo que la función f(x)= x^2+1 tiene límite 5 en el punto x=2 o cuando x tiende a 2, que se indicasimbólicamente:
Lim f(x^2+1)=5
x— 2
Se lee:
Límite de (x^2+1) para x tendiendo a 2 es igual a 5. También se dice que dicha función tiende a 5 cuando x tiende a 2, que se indica así: (x^2+1)— 5 cuando x— 2




PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:

1) Si dos funciones f(x) y g(x) toman valores iguales en un entorno reducido de un punto de acumulación x=a y una de ellas tiene límite l en esepunto, la otra también tiene límite l en a.
2) Si una función tiene límite en un punto, ese límite es único. Una función no puede tener dos límites distintos en un punto.
3) Si una función tiene límite l en un punto, en un entorno reducido del mismo, la función toma valores menores que cualquier número mayor que el límite y mayores que cualquier número menor que el límite
 si una función tieneen un punto un límite distinto de cero, en un entorno reducido del punto, la función determina valores del mismo signo que su límite
 toda función que tiene límite finito en un punto, está acotada en un entorno reducido del mismo
4) Si en un entorno reducido de un punto, los valores que determina la función están comprendidos entre los de otras dos funciones que tienen el mismo límite...